Задача 38277 system{x^2/y + y^2/x = 12;...

anastasi

2019-06-21 17:37:51

system{x^2/y + y^2/x = 12; 2^(-log2x)+5^(log5 1/y) = 1/3}

sova

2019-06-21 18:08:55

Первое уравнение решала бы так:
x ≠0; y ≠0

умножаем на ху

[b]x^3+y^3=12xy[/b]

Второе:

Применяем основное логарифмическое тождество:
[b]a^(log_(a)b)=b[/b]
a>0; b>0; a ≠ 1

и свойство логарифма степени:

[b]log_(a)b^k=klog_(a)b[/b]

a>0; b>0; a ≠ 1

2^(-log_(2)x)=2^(log_(2)x^(-1))=x^(-1)=1/x

5^(log_(5)(1/y))=1/y

Второе уравнение при x >0; y>0 принимает вид:

[b](1/x)+(1/y)=1/3[/b]

Система

[b]{x^3+y^3=12xy
{(1/x)+(1/y)=1/3⇒ 3*(y+x)=xy
{x>0
{y>0[/b]

Подставляем из второго в первое вместо ху

x^3+y^3=36(x+y)

Так как x^3+y^3=(x+y)^3-3x^2y-3xy^2=(x+y)^3-3xy(x+y), то

Уравнение принимает вид:

(x+y)^3-3xy(x+y)=36(х+y)

(x+y)* [b]([/b](x+y)^2-3xy-36 [b])[/b]=0

x>0; y>0; значит x+y≠ 0

(x+y)^2-3xy-36=0

xy=3(x+y)


(x+y)^2-9*(x+y)-36=0

квадратное уравнение относительно x+y

Замена переменной:

x+y=t

t>0

t^2-9t-36=0
D=81-4*(-36)=81+144=225

t_(1)=(9-15)/2<0

t_(2)=(9+15)/2=12

Итак,
x+y=12
xy=3*(x+y)

xy=36

Решаем систему способом подстановки:

{x+y=12
{xy=36

[b]x=y=6[/b]

О т в е т. (6;6)