Задача 38277 system{x^2/y + y^2/x = 12;...

anastasi

21 июня 2019 г. в 17:37

system{x²/y + y²/x = 12; 2^–log₂x+5^{log₅ 1/y} = 1/3}

sova

21 июня 2019 г. в 18:08

Первое уравнение решала бы так:
x ≠0; y ≠0

умножаем на ху

x³+y³=12xy

Второе:

Применяем основное логарифмическое тождество:
a^log_ab=b
a>0; b>0; a ≠ 1

и свойство логарифма степени:

log_ab^k=klog_ab

a>0; b>0; a ≠ 1

2^–log₂x=2^log₂x–1=x^–1=1/x

5^log₅(1/y)=1/y

Второе уравнение при x >0; y>0 принимает вид:

(1/x)+(1/y)=1/3

Система

{x³+y³=12xy
{(1/x)+(1/y)=1/3⇒ 3·(y+x)=xy
{x>0
{y>0

Подставляем из второго в первое вместо ху

x³+y³=36(x+y)

Так как x³+y³=(x+y)³–3x²y–3xy²=(x+y)³–3xy(x+y), то

Уравнение принимает вид:

(x+y)³–3xy(x+y)=36(х+y)

(x+y)· ((x+y)²–3xy–36 )=0

x>0; y>0; значит x+y≠ 0

(x+y)²–3xy–36=0

xy=3(x+y)


(x+y)²–9·(x+y)–36=0

квадратное уравнение относительно x+y

Замена переменной:

x+y=t

t>0

t²–9t–36=0
D=81–4·(–36)=81+144=225

t₁=(9–15)/2<0

t₂=(9+15)/2=12

Итак,
x+y=12
xy=3·(x+y)

xy=36

Решаем систему способом подстановки:

{x+y=12
{xy=36

x=y=6

О т в е т. (6;6)