Задача 45188 Дана плотность распределения непрерывной...
Условие
[m] 0, \text{если } x \leq -4.3, [/m]
[m]
\rho(x) = \begin{cases}
\frac{A}{193.21} (x + 4.3), \text{если } -4.3 < x \leq 2.65, \\
\frac{-A}{193.21} (x - 9.6), \text{если } 2.65 < x \leq 9.6,
\end{cases}
[/m]
[m] 0, \text{если } x > 9.6 [/m]
Найдите константы A и M[X], D[X].
В ответ введите значение D[X], округлив до трех знаков после точки.
Решение
∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )p(x)dx=1
Так как p(x) задана на 4 промежутках, то разбиваем интеграл на 4 части:
∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )p(x)dx= ∫ ^(-4,3)_(- ∞ )0dx+ ∫ ^(2,65 )_(- 4,3)[m]\frac{A}{193,21}(x+4,3)[/m]dx+ ∫ ^(9,6 )_(2,65 )[m]-\frac{A}{193,21}(x-9,6)[/m]dx+ ∫ ^(+ ∞ )_(9,6 )0dx=первый и последний равны 0
осталось сосчитать два интеграла и приравнять ответ к 1
Таким образом из уравнения находим А:
Очень долго и аккуратно надо сосчитать:
[m]\frac{A}{193,21}[/m] ((x^2/2)+4,3x)|^(2,65) _((-4,3)) -[m]\frac{A}{193,21}[/m] ((x^2/2)-9,6x)|^(9,6)_(2,65)= 1
[m]\frac{A}{193,21}[/m]* [b]([/b](2,65^2/2)+4,3*2,65- ((-4,3)^2/2)-4,3*(-4.3) -
-(9,6^2/2)+9,6*9,6+(2,65)^2/2-9,6*2,5[b])[/b]=1;
[m]\frac{A}{193,21}[/m]* [b]([/b]2,65^2+2,65*(9,6-4,3)+(9,6^2/2)-9,6*2,5+(4,3^2/2)[b])[/b]=1
[m]\frac{A}{193,21}[/m]* [b]([/b]2,65*(-2,65)+9,6*(4,8-2,5)+(4,3^2/2)[b])[/b]=1 ⇒
A=
M(X)= ∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )x*p(x)dx
и также считаем 4 интеграла ( вместо А подставите то значение, которое найдете):
= ∫ ^(-4,3)_(- ∞ )[b]x[/b]*0dx+ ∫ ^(2,65 )_(- 4,3)[m]\frac{A}{193,21}[b]x[/b]*(x+4,3)[/m]dx+ ∫ ^(9,6 )_(2,65 )[m]-\frac{A}{193,21}[b]x[/b]*(x-9,6)[/m]dx+ ∫ ^(+ ∞ )_(9,6 )[b]x[/b]*0dx=...первый и последний равны 0
M(X^2)=∫ ^(+ ∞ )_(- ∞ )[b]x^2[/b]*p(x)dx
и также считаем 4 интеграла ( вместо А подставите то значение, которое найдете):
= ∫ ^(-4,3)_(- ∞ )x^2*0dx+ ∫ ^(2,65 )_(- 4,3)[m]\frac{A}{193,21}[b]x^2[/b]*(x+4,3)[/m]dx+ ∫ ^(9,6 )_(2,65 )[m]-\frac{A}{193,21}[b]x^2[/b]*(x-9,6)[/m]dx+ ∫ ^(+ ∞ )_(9,6 )[b]x^2[/b]*0dx=...первый и последний равны 0
Теперь находим
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2