Задача 40958 исследовать функцию и построить ее...

anasonik

24 октября 2019 г. в 20:05

исследовать функцию и построить ее грфик:f(x)=3+2x²–x⁴

sova

24 октября 2019 г. в 23:38

1) D(y)=(–∞;+ ∞)
Вертикальных асимптот нет

2) Функция является четной.
у(–х)=3+2·(–х)²–(–x)⁴=3+2x²–x⁴
y(–x)=y(x)

3)lim_{x→ +∞})f(x)=–∞
lim_x→–∞f(x)=–∞.

Горизонтальных асимптот нет

Наклонной асимптоты нет, так как
k=lim_x→∞(3+2x²–x⁴)/x=∞

4) f(x)=0
–x⁴+2x²+3=0
x⁴–2x²–3=0
D=4+4·3=16
x²=3 или x²=–1 ( уравнение не имеет корней)

x²=3 ⇒ x= ± √3 –Точки пересечения с осью Ох.

При х=0 у=3
(0;3) – точка пересечения с осью Оу.

5)
y`=4x–4x³;

y`=0

4x–4x³=0
4x·(1–x²)=0

x=0 или 1–x²=0 ⇒х=±1

Знак производной
_+__ (–1) ___–___ (0) __+__ (1 ) __–__


x=0 –минимума, производная меняет знак с – на +

x=–1 и х=1 – точки максимума, производная меняет знак с + на –

y`>0 при x∈ (–∞;–1) и x∈ (0;1)
Функция возрастает при x∈ (–∞;–1) и x∈ (0;1)

y`<0 при x∈ (–1;0) и (1;+∞)
убывает при x∈ (–1;0) и (1;+∞)


7)y``=(4x–4x<sup>3</sup>)`=4–12x<sup>2</sup>
y``=0
4–12x²=0
x= ± √1/3 –точки перегиба, вторая производная при переходе через точки меняет знак .

Функция выпукла вверх на (– ∞ ;–√1/3) и на (√1/3;+ ∞ )
выпукла вниз на (–√1/3;√1/3)