Задача 36456 подобрать y(звездочка) ...
Условие
[b]y''+4y=f(x)=e^(x)cosx(x^(3)-1)
f(x)=cos2x
f(x)=x^(2)sin2x[/b]
Решение
Решаем однородное
y``+4y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+4=0
k1=-2i; k2=-2i– корни комплексные
α =0; β =2
Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=e^(0x)*(С_(1)*cos2x+C_(2)*sin2x)
1) f(x)=e^(x)cosx*(x^3-1)
частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=e^(x)((Ax^3+Bx^2+Cx+D)*sinx+(Ex^3+Fx^2+Gx+H)*cosx)
Находим производную первого, второго порядка
y`_(част)=
y``_(част)=
подставляем в данное уравнение:
2) f(x)=cos2x
f(x)=e^(0x)*(1*cos2x+0*sinx2x
z=0+2i - корень характеристического уравнения, то
частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=e^(0x)*х*(Asin2x+Bcos2x)
Находим производную первого, второго порядка
y`_(част)=(Asin2x+Bcos2x)+x*(2Acos2x-2Bsin2x)
y``_(част)=2(2Acos2x-2Bsin2x)+x*(-2Asin2x-2Bcos2x)
подставляем в данное уравнение:
2(2Acos2x-2Bsin2x)+x*(-2Asin2x-2Bcos2x)+4*х*(Asin2x+Bcos2x)
=cos2x
4Аcos2x-4Bsin2x+x*(2Asin2x+2Bcos2x)=cos2x
4A+2Bx=1
-4B+2Ax=0
Приравниваем коэффициенты
3) f(x)=x^2*sin2x
f(x)=e^(0x)*(0*cos2x+x^2*sinx2x)
z=0+2i - корень характеристического уравнения, то
частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=х*(Ax^2+Bx+C)*sin2x+(Dx^2+Ex+F)*cosx)
О т в е т.
Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част)=