Задача 15623 Дан квадрат ABCD . На сторонах AB и BC...

rainwalker50

08.05.2017

Дан квадрат ABCD . На сторонах AB и BC внешним и внутренним образом соответственно построены равносторонние треугольники ABK и BCP.

A) Докажите,что точка P лежит на прямой DK
Б)Найдите площадь четырёхугольника PKBC,если известно,что AB=2

SOVA

08.05.2017

★

а)
Δ АКВ - равносторонний:
АК=КВ=АВ
∠ КВА=∠КАВ=∠АКВ=60 градусов.

Δ ВРС - равносторонний:
ВР=РС=ВС
∠ ВРС=∠ВСР=∠РВС=60 градусов.

Так как АВСD - квадрат АВ=ВС, то АК=КВ=АВ=ВС=ВР=РС.
∠КВР=90 градусов.
Δ КВР - прямоугольный равнобедренный (КВ=ВР)
∠ВКР=∠ВРК=45 градусов.

Δ КАD - равнобедренный (КA=AD)
∠ KAD=∠KAB+∠BAD=60 градусов+90 градусов =150 градусов.
∠ AКD=∠AВК=(180 градусов -150 градусов)/2=15 градусов

∠ AКD+∠ ВКР=15 градусов+ 45 градусов=60 градусов
∠ AКВ= 60 градусов
∠РКD=0 градусов.
Прямые КР и KD совпадают.
Точка Р лежит на прямой KD.

б)
S(PKBC)=S(Δ BPC)+S(Δ BKP)=
=(1/2)*2*2*sin60 градусов+(1/2)2*2=sqrt(3)+2