Задача 39765 ...

vikaaa____

2019-09-22 18:36:26

1. ∫ (3x+8∛x -1)dx
2. ∫ dx/sqrt(4x)+1

sova

2019-09-23 09:10:21

[m]\int (3x+8\sqrt[3]{x}-1)dx= 3\int xdx +8\int x^{\frac{1}{3}}-\int 1\cdot dx=[/m]

[m]=3\frac{x^{2}}{2}-8\frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1}-x + C=\frac{3}{2}x^{2}-8\frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}-x+C=[/m]

[m]=\frac{3}{2}x^{2}-6x\sqrt[3]{x}-x+C[/m]


Применяем метод подведения под знак дифференциала.
Известна
[red]формула замены переменной[/red]
[m]\int f(x)dx=\int f(\varphi (t))\varphi `(t)dt[/m]

А справа налево:
[m]\int f(\varphi (x))\varphi `(x)dx=\int f(u)du[/m]

её называют формулой ( [i]методом[/i]) [blue]подведения под дифференциал[/blue]


Так как

d(4x+1)=(4x+1)dx=4dx

[m]dx=\frac{d(4x+1)}{4}[/m]


φ(x)=4x+1
φ `(x)=4

f(φ(x))=sqrt(φ(x))

φ(x)=u


[m]\int \frac{dx}{\sqrt{4x+1}}=\int \frac{\frac{d(4x+1)}{4}}{\sqrt{4x+1}}=\frac{1}{4}\int\frac{du}{\sqrt{u}}=\frac{1}{4}\cdot 2\sqrt{u}+C=\frac{1}{2}\sqrt{4x+1}+C[/m]