Задача 10763 По двум взаимно перпендикулярным шоссе в...

slava191

23.10.2016

По двум взаимно перпендикулярным шоссе в направлении их пересечения одновременно начинают двигаться два автомобиля: один со скоростью 80 км/ч, другой - 60 км/ч. В начальный момент времени каждый автомобиль находится на расстоянии 100 км от перекрестка. Определите время после начала движения, через которое расстояние между автомобилями будет наименьшим. Каково это расстояние?

SOVA

23.10.2016

★

Пусть через t часов расстояние между автомобилями будет наименьшим.
Тогда первый проедет 80t км и окажется на расстоянии
|100-80t| км от перекрестка, второй проедет 60е км и окажется на расстоянии |100-60t| км от перекрестка.
По теореме Пифагора
d(t)=sqrt((100-80t)^2+(100-60t)^2)
Исследуем функцию на экстремум.
Для этого достаточно исследовать подкоренное выражение
s(t)=(100-80t)^2+(100-60t)^2
s(t)=100•((10-8t)^2+(10-6t)^2)
s(t)=100•(100-160t+64t^2+100-120t+36t^2)
s(t)=100•(100-160t+64t^2+100-120t+36t^2)
s(t)=2000•(5t^2-14t+10)
s`(t)=2000•(10t-14)
s`(t)=0 при t=1,4
t=1,4 - точка минимума, производная при переходе через точку меняет знак с - на +.
s`(1)=-8000 < 0
s`(2)=12000 > 0

За 1,4 часа=1 час 4/10=1 час 24/60 = 1 час 24 минуты первый автомобиль проедет
80•1,4=112 км
и окажется на расстоянии |100-112|=12 км от перекрестка
Второй автомобиль проедет 60•1,4=84 км
и окажется на расстоянии |100-84|=16 км от перекрестка
По теореме Пифагора
d=sqrt(12^2+16^2)=sqrt(144+256)=sqrt(400)=20 км
О т в е т. через 1 час 24 минуты наименьшее расстояние между автомобилями 20 км