Задача 8238 В сегмент параболы у^2=2рх отсекаемой...

magrab

30.03.2016

В сегмент параболы у^2=2рх отсекаемой прямой х=2а вписать прямоугольник наибольшей площадью(стороны прямоугольника параллельны координатным осям)

sova

30.03.2016

★

Парабола у²=2рх симметрична относительно оси ох, ветви расположены в направлении оси ох.
Прямая х=2а параллельна оси оу.

Пусть одна сторона прямоугольника образована прямой х=t, вторая - прямой х=2а
(Если взять справа любую прямую левее чем х=2а, то площадь прямоугольника будет меньше)

Подставим координату х=t в уравнение параболы, получим
2pt=y²
y₁=-√2pt y₂=√2pt

Тогда длина прямоугольника равна (2а-t), а ширина 2·2√2pt

Площадь прямоугольника, как функция от t:
S(t)=(2а-t)· 2·2√2pt
S(t) будет принимать наибольшее значение там же где и функция
s(t)=(2a-t)·√pt
( S(t)= 4·√2·s(t))

Находим s`(t)=2a·√pt +(2a-t)·(p/(2·√pt))=(4apt+2ap-tp)/(2·√pt)
s`(t)=0
t=2a(1-4a)
проходя через эту точку производная меняет знак с + на - , значит это точка максимума
(в числителе s`(t) линейная функция, график которой меняет знак проходя через нуль функции, знаменатель положителен при любом t и на знак производной не влияет)
О т в е т. прямоугольник, определяемый уравнениями x=2a/(1-4а) и х=2а будет иметь наибольшую площадь