Пожалуйста
sinx+cosx=t
Возводим в квадрат
sin^2x+2sinx*cosx+cos^2x=t^2
1+2sinx*cosx=t^2
sinx*cosx=(t^2-1)/2
sin^3x+cos^3x=(sinx+cosx)*(sin^2x-sinx*cosx+cos^2x)=
=t*(1- (t^2-1)/2)=t*(3-t^2)/2
Уравнение принимает вид
t*(3-t^2)/2 + (t^2-1)/2=1
3t-t^3+t^2-1-2=0
3(t-1)-(t^3-t^2)=0
(t-1)*(3-t^2)=0
t=1 или t= ± sqrt(3)
Обратный переход
1)
sinx+cosx=1
(1/sqrt(2))*sinx+ (1/sqrt(2))cosx=1/sqrt(2)
cos(x-(π/4))=1/sqrt(2)
x-(π/4)=±(π/4)+2πn, n∈ Z
x=(π/4)±(π/4)+2πn, n∈ Z
[b]x=(π/2)+2πn, n∈ Z[/b] или [b] х=2πn, n∈ Z[/b]
2)
sinx+cosx=sqrt(3)
(1/sqrt(2))*sinx+ (1/sqrt(2))cosx=sqrt(3)/sqrt(2)
cos(x-(π/4))=sqrt(3)/sqrt(2) - уравнение не имеет корней, так как sqrt(3)/sqrt(2)>1
-1 ≤cos( x-(π/4))≤1
3)
sinx+cosx=-sqrt(3)
(1/sqrt(2))*sinx+ (1/sqrt(2))cosx= - sqrt(3)/sqrt(2)
cos(x-(π/4))= - sqrt(3)/sqrt(2) - уравнение не имеет корней, так как - sqrt(3)/sqrt(2) < - 1
-1 ≤cos( x-(π/4))≤1
О т в е т. x=(π/2)+2πn, n∈ Z[/b] ; [b] х=2πn, n∈ Z[/b]