Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 36935 sin^3(x) +cos^3(x) +sin(x) *cos(x)...

Условие

sin^3(x) +cos^3(x) +sin(x) *cos(x) =1
Пожалуйста

математика 10-11 класс 1604

Все решения

Замена переменной:
sinx+cosx=t

Возводим в квадрат
sin^2x+2sinx*cosx+cos^2x=t^2

1+2sinx*cosx=t^2

sinx*cosx=(t^2-1)/2

sin^3x+cos^3x=(sinx+cosx)*(sin^2x-sinx*cosx+cos^2x)=

=t*(1- (t^2-1)/2)=t*(3-t^2)/2

Уравнение принимает вид

t*(3-t^2)/2 + (t^2-1)/2=1

3t-t^3+t^2-1-2=0

3(t-1)-(t^3-t^2)=0

(t-1)*(3-t^2)=0

t=1 или t= ± sqrt(3)

Обратный переход
1)
sinx+cosx=1

(1/sqrt(2))*sinx+ (1/sqrt(2))cosx=1/sqrt(2)

cos(x-(π/4))=1/sqrt(2)

x-(π/4)=±(π/4)+2πn, n∈ Z

x=(π/4)±(π/4)+2πn, n∈ Z

[b]x=(π/2)+2πn, n∈ Z[/b] или [b] х=2πn, n∈ Z[/b]

2)
sinx+cosx=sqrt(3)
(1/sqrt(2))*sinx+ (1/sqrt(2))cosx=sqrt(3)/sqrt(2)
cos(x-(π/4))=sqrt(3)/sqrt(2) - уравнение не имеет корней, так как sqrt(3)/sqrt(2)>1

-1 ≤cos( x-(π/4))≤1

3)
sinx+cosx=-sqrt(3)
(1/sqrt(2))*sinx+ (1/sqrt(2))cosx= - sqrt(3)/sqrt(2)
cos(x-(π/4))= - sqrt(3)/sqrt(2) - уравнение не имеет корней, так как - sqrt(3)/sqrt(2) < - 1

-1 ≤cos( x-(π/4))≤1


О т в е т. x=(π/2)+2πn, n∈ Z[/b] ; [b] х=2πn, n∈ Z[/b]

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК