Задача 8315 На ребре AA1 прямоугольного...

vicktoriya2110

4 марта 2016 г. в 00:00

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E:EA=3:4. Точка T – середина ребра B1C1. Известно, что AB=9, AD=6, AA1=14.

А) В каком отношении плоскость ETD1 делит ребро BB1?
В) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью AA1B1.

SOVA

4 марта 2016 г. в 00:00

★

Чтобы построить сечение, соединяем точку D1 и Е и продолжаем до пересечения с плоскостью основания АВСD.Для этого продолжаем DA до пересечения с D1E, получаем точку М.
Проводим DT, так как плоскости верхнего и нижнего оснований параллельны, то секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым проводим MN || D1T.ВС пересекается с МN в точке N. Проводим TN, точка пересечения с В1В – точка F

Сечение D1EFT построено.

Треугольники МАЕ и МDD1 подобны. Из подобия
МА: MD= AE: DD1
МА=8
Треугольник МАЕ прямоугольный равнобедренный. Острые углы 45 °. Отмечены на рисунке синим цветом.
Из треугольника B1TF c такими же углами, находим B1F=3; FB=14–3=11
Ответ. а) BF:FB1=11:3

б) Плоскости пересекаются по прямой EF.
Проводим A1K⊥ EF.
Треугольник A1FD1– прямоугольный, так как A1D1 ⊥ плоскости A1B1BA, и потому A1D1 ⊥ EF.
По теореме о 3–х перпендикулярах D1K⊥ EF.

Из прямоугольной трапеции A1B1FE находим FE.
FE=√(A1B1)²+(A1E–BF)²=√90
Применяем метод площадей
Площадь треугольника A1EF, с одной стороны равна половине произведения основания А1Е на высоту А1В1, с другой –половине произведения основания EF на высоту А1К.
Поэтому
А1К·EF=A1E·A1B1
A1K=6·9/√90=18√10/10=9√10/5

Из прямоугольного треугольника A1D1K:
tg ∠A1KD1=A1D1:A1K=6/(9√(10)/5)=30/(9√10)=10/(3·√10)=(√10)/3
∠A1KD1=arctg(√10/3)