Задача 28926 4.3.71) Найти эксцентриситет гиперболы,...

slava191

15.07.2018

4.3.71) Найти эксцентриситет гиперболы, зная, что расстояние между фокусами в 4 раза больше расстояния между ее директрисами

SOVA

17.07.2018

★

Канонический вид гиперболы:
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

[b] Уравнения директрис гиперболы имеют вид:

x=±a/ε,[/b]

где

ε=c/a - эксцентриситет гиперболы


Расстояние между директрисами гиперболы
2d=2a/ε

Фокусы гиперболы имеют координаты
F_(1)(-с;0) и F_(2)(с;0)

Расстояние между фокусами:
F_(1)F_(2)=2c

По условию:
расстояние между фокусами в 4 раза больше расстояния между ее директрисами

2d*4=2c
4d=c

4*(a/ε)=c
4a=c*(c/a) ⇒4a^2=c^2 ⇒ c=2a

Тогда эксцентриситет гиперболы
эпсилон=с/a=2a/a=2
О т в е т. 2