Задача 28926 4.3.71) Найти эксцентриситет гиперболы,...

slava191

15 июля 2018 г.

4.3.71) Найти эксцентриситет гиперболы, зная, что расстояние между фокусами в 4 раза больше расстояния между ее директрисами

SOVA

17 июля 2018 г.

★

Канонический вид гиперболы:
(x²/a²)–(y²/b²)=1

Уравнения директрис гиперболы имеют вид:

x=±a/ε,

где

ε=c/a – эксцентриситет гиперболы


Расстояние между директрисами гиперболы
2d=2a/ε

Фокусы гиперболы имеют координаты
F₁(–с;0) и F₂(с;0)

Расстояние между фокусами:
F₁F₂=2c

По условию:
расстояние между фокусами в 4 раза больше расстояния между ее директрисами

2d·4=2c
4d=c

4·(a/ε)=c
4a=c·(c/a) ⇒4a²=c² ⇒ c=2a

Тогда эксцентриситет гиперболы
эпсилон=с/a=2a/a=2
О т в е т. 2