Задача 28756 xy'+y=sqrt(x^2+y^2)...
Условие
Решение
y`+(y/x)=sqrt(1+(y/x)^2)
Замена
y/x=u
y=xu
y`=x`*u+x*u` (x`=1, так как х - независимая переменная)
u+x*u`+u=sqrt(1+u^2) - уравнение с разделяющимися переменными.
u`=du/dx
x*(du/dx)=sqrt(1+u^2)-2u
du/(sqrt(1+u^2)-2u)=dx/x
Интегрируем
∫ du/(sqrt(1+u^2)-2u)=∫ dx/x
Применяем тригонометрическую подстановку
u=tgt
du=dt/cos^2t
∫ dt/cost(1-2sint) = ln|x|+lnC
Для вычисления первого интеграла надо применить универсальную тригонометрическую подстановку
tg(t/2)=z ⇒
cost=(1-tg^2(t/2))/(1+tg^2(t/2))=(1-z^2)/(1+z^2);
sint=2tg(t/2)/(1+tg^2(t/2))=2z/(1+z^2)
t/2=arctgz
t=2arctgz
dt=2dz/(1+z^2)
∫dt/cost(1-2sint)= ∫2(1+z^2)dz/(1-z^2)(z^2-4t+1) - интеграл от дроби.
Её нужно разложить на простейшие....
Я так думаю, что уравнение имеет вид:
xy`- y = sqrt(x^2+y^2)
Тогда та же замена приводит к уравнению с разделяющимися переменными более простого вида:
u+x*u`-u=sqrt(1+u^2)
du/sqrt(1+u^2)=dx/x
ln|u+sqrt(1+u^2)|=lnx+lnC
u+sqrt(1+u^2)=Cx
(y/x)+sqrt(1+(y/x)^2)=Cx - общее решение дифференциального уравнения:
xy`- y = sqrt(x^2+y^2)