Задача 39448 ...

vk237584341

2019-09-14 13:48:53

Пусть
A=1/909⋅910+1/910⋅911+1/911⋅912+...+1/(2019!−1)⋅2019!+1/2019!.

Упростите указанное выражение. Найдите значение A, умноженное на 909 в квадрате. Ответ округлите до ближайшего целого числа.

Примечание: Под n! понимается произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Например, 4! =1⋅2⋅3⋅4=24.

sova

2019-09-14 15:34:16

Что то не так в условии.
У первых трех дробей знаменатель состоит из произведения двух множителей.

А у предпоследней дроби и последней не так.

Рассмотрим например такую сумму
[m]\frac{1}{909\cdot 910}+\frac{1}{910\cdot 911}+\frac{1}{911\cdot 912}+...\frac{1}{2018\cdot 2019}[/m]

Если сложить две дроби

[m]\frac{1}{909\cdot 910}+\frac{1}{910\cdot 911}=\frac{911}{909\cdot 910\cdot 911}+\frac{909}{910\cdot 911\cdot 909}=[/m]

[m]=\frac{911+909}{909\cdot 910 \cdot 911}=\frac{2\cdot 910}{909\cdot 910\cdot 911}=[/m]

то получим:

[m]=\frac{2}{909\cdot911}[/m]


Если сложить три дроби

[m]\frac{1}{909\cdot 910}+\frac{1}{910\cdot 911}+\frac{1}{911\cdot 912}=\frac{2}{909\cdot 911}+\frac{1}{911\cdot 912}=\frac{3\cdot 911}{909\cdot 911\cdot 912}=[/m]

то получим:

[m]=\frac{3}{909\cdot 912}[/m]

...
Если сложить четыре дроби

то получим:

[m]=\frac{4}{909\cdot 913}[/m]

и так далее

Осталось сосчитать сколько слагаемых.

У первой дроби второй множитель в знаменателе 910
У второй - 911
У третьей - 912

у последней 2019

Значит слагаемых (2019-909)=1110

Сумма


будет равна

[m]=\frac{1110}{909\cdot 2019}[/m]