Задача 41666 ...

vk380876195

19 ноября 2019 г. в 12:22

Решить неравенство

sova

19 ноября 2019 г. в 13:47

ОДЗ:
{x²–2x>0 ⇒ x·(x–2) >0 ⇒ x < 0 или x > 2
{x⁴>0 ≠ x ≠ 0
{log₅x⁴ ≠ 0 ⇒ x⁴ ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 1

x ∈ (– ∞ ;–1) U (–1;0) U(2;+ ∞ )


log₅(x²–2x)=log₅x·(x–2)=log₅|x|+log₅|x–2|

log₅x⁴=4log₅|x|

Неравенство принимает вид:

[m]\frac{log_{5}|x|+log_{5}|x-2|}{4log_{5}|x|}\geq 0,25[/m]

Умножаем на 4:

[m]\frac{log_{5}|x|+log_{5}|x-2|}{log_{5}|x|}\geq 1[/m]


[m]1+\frac{log_{5}|x-2|}{log_{5}|x|} \geq 1[/m]

[m]\frac{log_{5}|x-2|}{log_{5}|x|} \geq 0[/m] ⇒

Применяем метод интервалов:

log₅|x–2|=0 ⇒ |x–2|=5⁰ ⇒ |x–2|=1 ⇒ x–2 = ± 1 ⇒ x=1 или х=3

log₅|x|=0 ⇒ x= ± 1

Расставляем знаки на ОДЗ:

___+__ (–1) _–_ (0) ____ (2) _–_ (3) __+_

О т в е т.(– ∞ ;–1) U (3;+ ∞ )