Задача 37189 подробное решение...

vk173500291

17 мая 2019 г. в 19:18

подробное решение

sova

17 мая 2019 г. в 19:49

★

Замена переменной

x=t⁶
dx=6t⁵dt

√x=t³
∛x=t²

тогда данный интеграл сводится к интегралу от дроби

∫ (t³–t²)·6t⁵dt/(t²–t–1)

Дробь неправильная.

=6 ∫ t⁸–t⁷)dt/(t²–t–1)=

=6 ∫ (t⁶+t⁴+t³+2t²+3t+5 + (8t+5/(t²–t–1))dt=

=6 ∫ (t⁶+t⁴+t³+2t²+3t+5 + (8t–4+9/(t²–t–1))dt=

=(6t⁷/7)+(6t⁵/5)+(6t⁴/4)+(12t³/3)+(18t²/2)+30t+24ln|t²–t–1|+

54/(2·√5/4) ln|(t–1/2–√5/2)/(t–1/2+√5/2)|+C=

=(6t⁷/7)+(6t⁵/5)+(6t⁴/4)+(12t³/3)+(18t²/2)+30t+24ln|t²–t–1|+

+54/(√5) ln|(2t–1–√5)/(2t–1+√5)|+C


Как считаем

∫ (8t+5)dt/(t²–t–1)=

∫ (8t–4+9)dt/(t²–t–1)=

=4· ∫ (2t–1)dt/(t²–t–1) + 9· ∫dt/(t²–t–1)=

первый интеграл табличный. По формуле ∫ du/u

во втором выделяем полный квадрат в знаменателе=

= 4· ln|t²–t–1| +9 ∫ dt/(t–(1/2))²–(5/4))=замена t–(1/2)=u

=4· ln|t²–t–1|+9 ∫ du/(u²–(5/4))=

=4ln|t²–t–1|+9·(1/2√5/4)ln|(u–√5/4)/(u+√5/4)|


Это все надо умножить еще на 6.

Получим тот ответ, который и написан в скобках в приложении к вопросу