Задача 29125 5. Внутри прямоугольника, ограниченного...

slava191

28.07.2018

5. Внутри прямоугольника, ограниченного прямыми х = 0, х = п/2, у = 0, у=п/2, плотность распределения системы двух случайных величин f(х, у)=Сsin(х+у); вне прямоугольника f (х, у)=0. Найти: а) величину С; б) функцию распределения системы.

Отв. а) С=0,5; б) F(x, у) 0,5 [sin x+ sin - sin (x+y)]

SOVA

29.07.2018

★

а)
Используем свойство двумерной плотности вероятности:
[b] ∫ ∫ _((D))f(x;y)dxdy=1[/b]

∫ ^(+∞)_(-∞) ∫ ^(+∞)_(-∞)Csin(x+y)dxdy=1;

Так как
f(x;y)=Csin(x+y) при 0 меньше или равно х меньше или равно Pi/2; при 0 меньше или равно y меньше или равно Pi/2;
f(x;y)= 0 вне этого прямоугольника
∫ ^(+∞)_(-∞) ∫ ^(+∞)_(-∞)Csin(x+y)dxdy=

=С* ∫ ^(Pi/2)_(0) ∫ ^(Pi/2)_(0)sin(x+y)dxdy=

=C*∫ ^(Pi/2)_(0)(-cos(x+y))|^(Pi/2)_(0)dy=

=C*∫ ^(Pi/2)_(0)(cosy-cos((Pi/2)+y))dy=

=C*(siny-sin((Pi/2)+y))|^(Pi/2)_(0)=

=C*(1-0-0+1)=2C


2C=1 ⇒ [b] C=0,5 [/b]

б)

F(x;y) = ∫ ^(y)_(-∞) ∫ ^(x)_(-∞)f(x;y)dxdy =

= 0,5∫ ^(y)_(0) ∫ ^(x)_(0)sin(x+y)dxdy=

=0,5*∫ ^(y)_(0)(-cos(x+y))|^(x)_(0)dy=

=0,5*∫ ^(y)_(0)(cos(y)-cos(x+y))dy=

=0,5*(siny-sin(x+y))|^(y)_(0)=

=[b]0,5*(siny-sin(x+y)+sinx)[/b]

О т в е т.
а)0,5 б)F(x;y) =0,5*(sinx+siny-sin(x+y))