Задача 29125 5. Внутри прямоугольника, ограниченного...

slava191

28 июля 2018 г.

5. Внутри прямоугольника, ограниченного прямыми х = 0, х = п/2, у = 0, у=п/2, плотность распределения системы двух случайных величин f(х, у)=Сsin(х+у); вне прямоугольника f (х, у)=0. Найти: а) величину С; б) функцию распределения системы.

Отв. а) С=0,5; б) F(x, у) 0,5 [sin x+ sin – sin (x+y)]

SOVA

29 июля 2018 г.

★

а)
Используем свойство двумерной плотности вероятности:
∫ ∫ _(D)f(x;y)dxdy=1

∫ ^+∞_–∞ ∫ ^+∞_–∞Csin(x+y)dxdy=1;

Так как
f(x;y)=Csin(x+y) при 0 ≤ х ≤ π/2; при 0 ≤ y ≤ π/2;
f(x;y)= 0 вне этого прямоугольника
∫ ^+∞_–∞ ∫ ^+∞_–∞Csin(x+y)dxdy=

=С· ∫ ^π/2₀ ∫ ^π/2₀sin(x+y)dxdy=

=C·∫ ^π/2₀(–cos(x+y))|^π/2₀dy=

=C·∫ ^π/2₀(cosy–cos((π/2)+y))dy=

=C·(siny–sin((π/2)+y))|^π/2₀=

=C·(1–0–0+1)=2C


2C=1 ⇒ C=0,5

б)

F(x;y) = ∫ ^y_–∞ ∫ ^x_–∞f(x;y)dxdy =

= 0,5∫ ^y₀ ∫ ^x₀sin(x+y)dxdy=

=0,5·∫ ^y₀(–cos(x+y))|^x₀dy=

=0,5·∫ ^y₀(cos(y)–cos(x+y))dy=

=0,5·(siny–sin(x+y))|^y₀=

=0,5·(siny–sin(x+y)+sinx)

О т в е т.
а)0,5 б)F(x;y) =0,5·(sinx+siny–sin(x+y))