Задача 41409 Составить уравнения прямой пересекающей...

vk524112681

2019-11-11 08:47:24

Составить уравнения прямой пересекающей две прямые (x+3)/2=(y–5)/3=z/1 и (x–10)/5=(y+7)/4=z/1 и параллельной прямой (x+3)/8=(y–1)/7=(z–3)/1

sova

2019-11-11 09:02:49

[i]l[/i]_(o):(x+3)/8=(y–1)/7=(z-3)/1
проходит через точку M_(o)(-3;1;3) и имеет направляющий вектор
vector{s_(o)}=(8;7;1)

Cемейство параллельных ей прямых имеет вид:

[b](x-x_(o))/8=(y–y_(o))/7=(z-z_(o))/1[/b]
точка M_(o) (x_(o); y_(o); z_(o)) - точка принадлежащая плоскости, которая пересекает

[i]l[/i]_(1):(x+3)/2=(y–5)/3=z/1, которая проходит через точку M_(1)(-3;5;0) и имеет направляющий вектор
vector{s_(1)}=(2;3;1)
и
[i]l[/i]_(2): (x–10)/5=(y+7)/4=z/1, которая проходит через точку M_(2)(10;-7;0) и имеет направляющий вектор
vector{s_(1)}=(5;4;1)

Задача сводится к нахождению координат точки M_(o) (x_(o); y_(o); z_(o))

Задачу можно упростить,полагая, что M_(o)=A

Итак, нужны координаты двух точек А и B.

Обозначим A(x_(A);y_(A);z_(A)); B(x_(B);y_(B); z_(B))


Тогда искомая прямая принимает вид:

[b](x-x_(А))/8=(y–y_(А))/7=(z-z_(А))/1[/b]


Точка В лежит на этой прямой
Значит
(x_(В)-x_(А))/8=(y_(В)–y_(А))/7=(z_(В)-z_(А))/1
Параметризуем:
(x_(В)-x_(А))/8=(y_(В)–y_(А))/7=(z_(В)-z_(А))/1=t
⇒
x_(B)-x_(A)=8t
y_(B)-y_(A)=7t
z_(B)-z_(A)=t

⇒
[red]x_(B)=x_(A)+8t
y_(B)=y_(A)+7t
z_(B)=z_(A)+t[/red]

Так как точка А принадлежит прямой
[i]l[/i]_(1):(x+3)/2=(y–5)/3=z/1, то
её координаты удовлетворяют уравнению
(x_(А)+3)/2=(y_(А)–5)/3=z_(А) /1 ⇒

(x_(А)+3)/2=z_(А) /1 ⇒[blue] x_(A)=2z_(A)-3[/blue]
(y_(А)–5)/3=z_(А) /1 ⇒[blue] y_(A)=3z_(A)+5[/blue]


Так как точка B принадлежит прямой
[i]l[/i]_(2):(x-10)/5=(y+7)/4=z/1, то
её координаты удовлетворяют уравнению
(x_(B)-10)/5=(y_(B)+7)/4=z_(B) /1 ⇒

(x_(B)-10)/5=z_(B) /1 ⇒ [green]x_(B)=5z_(B)+10[/green]
(y_(B)+7)/4=z_(B) /1 ⇒[green] y_(B)=4z_(B)-7[/green]

Подставляем в
[red]x_(B)=x_(A)+8t
y_(B)=y_(A)+7t
z_(B)=z_(A)+t[/red]

5z_(B)+10=2z_(A)-3+8t
4z_(B)-7=3z_(A)+5+7t
z_(B)=[b]z_(A)+t[/b]

5*([b]z_(A)+t[/b])+10=2z_(A)-3+8t ⇒ 3z_(A)-3t+13=0
4*(([b]z_(A)+t[/b])=3z_(A)+5+7t ⇒ z_(A)-3t-12=0

2z(A)=-25
[blue]z_(A)=-12,5[/blue]

[blue]x_(A)=2z_(A)-3=2*12,5-3=-28[/blue]
[blue] y_(A)=3z_(A)+5=3*(-12,5)+5=-32,5[/blue]

А(-12,5; -28; -32,5)

О т в е т. [b](x+12,5)/8=(y+28)/7=(z+32,5)/1[/b]