Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 35400 ...

Условие

a)sin(2x+π/6)=cosx+cos(x+π/6)sinx
b)какие корни принадлежат отрезку [-5π;-7π/2]

математика 10-11 класс 6533

Решение

sin(2x+(π/6))=cosx+cos(x+(π/6))*sinx

Формула:
[b]sin α *cos β =(1/2)sin( α + β ) +(1/2)sin( α - β )
[/b]
cos(x+(π/6))*sinx= (1/2)sin(x+x+(π/6)) + (1/2)sin(x-x-(π/6)

cos(x+(π/6))*sinx=(1/2)sin(2x+(π/6))+(1/2)sin(-π/6)

cos(x+(π/6))*sinx=(1/2)sin(2x+(π/6))-(1/4)

Уравнение:

sin(2x+(π/6))=cosx+(1/2)sin(2x+(π/6))-(1/4)

[b](1/2)*sin(2x+(π/6))=cosx-(1/4)[/b]

Формула:
[b]sin( α + β )=sin α cos β +cos α sin β [/b]

(1/2)*sin2x*cos(π/6)+(1/2)*cos2xsin(π/6)=cosx-(1/4)

(1/2)*sin2x*(sqrt(3)/2)+(1/2)*cos2x*(1/2)=cosx-(1/4)

Умножаем на 4:
sqrt(3)sin2x + cos2x=4cosx-1;


2sqrt(3)sinx*cosx+2cos^2x-1=4cosx-1;

2sqrt(3)sinx*cosx+2cos^2x-4cosx=0

2cosx*(sqrt(3)sinx+cosx-2)=0

cosx=0 или sqrt(3)sinx+cosx-2=0

cosx=0 ⇒ [b] x=(π/2)+πn, n ∈ Z[/b]

или

sqrt(3)sinx+cosx-2=0

sqrt(3)sinx+cosx=2

уравнение вида

asinx+bcosx=c

Решаем [b] либо методом введения вспомогательного угла[/b]

sqrt(3)/2*sinx+(1/2) cosx=1

cos(x-(π/3))=1

x-(π/3)=2πm, m ∈ Z

[b]х = (π/3)+2πm, m ∈ Z[/b]



[b]либо как однородное второго порядка[/b] с аргументом (x/2)

2sqrt(3)sin(x/2)*cos(x/2) +cos^2(x/2)-sin^2(x/2)=2*(cos^2(x/2)+sin^2(x/2))

2sqrt(3)sin(x/2)*cos(x/2) -cos^2(x/2)-3sin^2(x/2)=0

3tg^2(x/2)-2sqrt(3)tg(x/2)+1=0

D=12-12=0

tg(x/2)=sqrt(3)/3

(x/2)=(π/6)+πk, k ∈ Z

[b]x=(π/3)+2πk, k ∈ Z[/b]

О т в е т.
а) (π/2)+πn, n ∈ Z; (π/3)+2πk, k ∈ Z

б)

x=(π/2)-5π=-9π/2

x=(π/2)-4π=-7π/2

x=(π/3)-4π=-11π/3.


[b]-4π[/b]=-24π/6 < [b]-11π/3[/b]=-22π/6 [b] <[/b] [b] -7π/2[/b]=-21π/6

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК