Задача 28009 Решить задачу Коши для линейного...

u8523810173

27.05.2018

Решить задачу Коши для линейного дифференциального уравнения
y'-y/x= -lnx/x
y(1)=1

SOVA

27.05.2018

y`-(1/x)y=-lnx/x
Решаем однородное уравнение
y`-(1/x)*y=0
y`=dy/dx
dy/dx=y/x
dy/y=dx/x
Интегрируем
∫ dy/y= ∫ dx/x
ln|y|=Ln|x|+lnC
y=lnCx
y=Cx

Применяем метод вариации произвольной постоянной
y(x)=C(x)*x
y`=C`*x+C(x)*1

Подставляем в данное уравнение
С`(x)*x+C(x)-(C(x)*x/x)=-lnx/x

C`(x)=- lnx/x^2

С(x)=- ∫ (lnx/x^2)dx= применяем метод интегрирования по частям
u=lnx ⇒ du=dx/x
dv=-dx/x^2 ⇒ v=1/x

C(x)=(lnx/x)- ∫ dx/x^2=(lnx/x)+(1/x)+ c

О т в е т. y = ((lnx/x)+(1/x)+c)*x=lnx+1+cx - общее решение дифференциального уравнения.
При x=1 y=1
1=ln1+1+c ⇒ c=0

y=lnx+1 - частное решение при х=1 y=1