Задача 30197 Этим летом мистер Фокс посетил один...

vk12510568

12 октября 2018 г. в 23:45

Этим летом мистер Фокс посетил один город, расположенный на Волге. В городе очень длинная набережная, по которой он часто гулял. Однажды, прогуливаясь вдоль набережной, мистер Фокс заметил, что все столбики небольшого забора, отделяющего реку от прогулочной части, пронумерованы числами от 1 до 2018. Также он увидел трех бабочек, игравших в такую игру: сначала бабочки сидели на столбиках с номерами 498, 992 и 1301, далее они по очереди делали ходы – за один ход одна из крайних бабочек перелетает через среднюю и садится на столбик, расположенный ровно посередине между двумя другими бабочками или на любой из двух средних столбиков, если столбиков четное количество. На одном столбике может сидеть только одна бабочка. Мистеру Фоксу стало интересно, какое наибольшее количество ходов может быть в такой игре. Помогите ему ответить на этот вопрос. В качестве ответа выведите одно целое число, например, 2018.

Комментарий. Если бы бабочки сидели на столбиках номер 2014, 2017 и 2018, то игра продолжалась бы два хода.

sova

13 октября 2018 г. в 11:36

Комментарий дан для того, чтобы понять как начать счет. Ясно, что между 2014 и 2017 два столбика: 2015 и 2016. Бабочка с 2018 перелетает на 2016. Затем бабочка с 2017 перелетает на 2015. Вот два хода.

Решение основной задачи:
Между 498 и 992 столбиков больше, чем между 992 и 1301, поэтому начинаем с бабочки на 1301 столбике.
Она с 1301 перелетает на 745, находящийся посередине между 498 и 992.
745=(498+992)/2

498 ..... 745 ...... 992 – первый ход

Теперь три бабочки находятся на одинаковых расстояниях друг от друга. И разницы нет, какая бабочка начнет игру.
Между 745 и 498 находится 248 столбиков.
a_n=a₁+(n–1)·d ⇒ 745=498 + (n–1) ⇒ n=745 – 498 +1 =248

Столбиков четное число, поэтому бабочка может сесть как на столбик 621, так и на столбик 622.

Разницы никакой, потому что

498 ...... 621 .....745

между 498 и 621 находится 124 столбика,
между 621 и 745 находится 125 столбиков. ⇒

Бабочка со столбика 498 садится на столбик между 621 и 745.
683=(621+745)/2

498 ..... 622 ..... 745

между 498 и 622 находится 125 столбиков,
между 622 и 745 находится 124 столбика. ⇒

Чтобы действий было наибольшее количество выбираем ту часть, где столбиков больше.


621 ..... 683 ..... 745 – второй ход

между 621 и 683 находится 63 столбика,
между 683 и 745 находится 63 столбика. ⇒

621 ..... 652 ..... 683 – третий ход

652=(621+683)/2=652

между 621 и 652 находится 32 столбика,
между 652 и 683 находится 32 столбика. ⇒

621 .... 637 ..... 652 – четвертый ход

621 ..... 629 ..... 637 – пятый ход

621 .... 625 ..... 629 – шестой ход

621 ..... 623 ..... 625 – седьмой ход

621 ....622 ..... 623 – восьмой ход


О т в е т. 8 ходов