Задача 47524 Найдите все значения а, при котором...

swiftkey

2020-04-18 15:27:25

Найдите все значения а, при котором уравнение имеет единственное решение на отрезке [0,3]
(x^2 +2x-a)^2=2x^4+2(2x-a)^2
Решите, пожалуйста, более менее подробно

sova

2020-04-18 22:13:39

★

(x^2 +([b]2x–a[/b]))^2=2*(x^2)^2+2*([b]2x–a[/b])^2

(x^2)^2+2*x^2*(2x-a)+(2x-a)^2=2(x^2)^2+2*(2x-a)^2

(x^2)^2-2*x^2*(2x-a)+(2x-a)^2=0

(x^2[red]-[/red](2x-a))^2=0

⇒

x^2-2x+a=0

D=4-4a

кв уравнение имеет корни, если D ≥ 0

x_(1)=1-sqrt(1-a); x_(2)=1-sqrt(a)


единственное решение на отрезке [0,3] ⇒

либо оба корня равны, т.е D=0 и[b] a=1[/b]; x_(1)=x_(2)=1 ∈ [0,3]

либо только один корень принадлежит отрезку:

D>0 ⇒ 4-4a>0 ⇒ [b] a < 1[/b]

0 ≤ 1-sqrt(1-a) ≤ 3 или 0 ≤ 1+sqrt(1-a) ≤ 3 ⇒ находим границы для а