Задача 52156 ...

vk220103949

2020-06-05 11:30:07

Помогите решить задачу Коши
xy'−3 y = x^4⋅(e^x) , если y (1)=e .

sova

2020-06-05 13:38:34

★

Делим на х:

y`-(3/x)*y=x^3*e^(x) - линейное неоднородное диф уравнение первого порядка

Решение в виде
y=u*v
Находим
y`=u`*v+u*v`
Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v`-(3/x)*u*v=x^3*e^(x)

u`*v+u(v`-(3/x)*v)=x^3*e^(x)

Выбираем функцию v так,чтобы
v`-(3/x)*v=0

Решаем уравнение с разделяющимися переменными

v`-(3/x)*v=0 ⇒ dv/v=3dx/x ⇒ ∫ dv/v=3∫ dx/x ⇒ ln|v|=3ln|x| ⇒ [b]v=x^3[/b]

Тогда данное уравнение принимает вид

u`*[b]x^3[/b]+u*0=x^3e^(x)

u`*x^3=x^3*e^(x)

u`=e^(x)

u=e^(x)+C


[b]y=u*v=(e^(x)+C)*x^3-[/b] общее решение диф уравнения


y(1)=e

e=(e+C)*1

C=0

[b]y=e^(x)*x^3[/b] - решение задачи Коши, удовлетворяющее условию y(1)=e