Задача 30564 Найти общее решение дифференциального...

daniil

2018-10-27 15:33:04

Найти общее решение дифференциального уравнения
y''''+4y'''+4y''=x-x^2

sova

2018-10-27 22:57:34

★

решаем однородное уравнение:
y````+4y```+4y``=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^4+4k^3+4k^2=0
k^2*(k^2+4k+4)=0
k_(1,2)=0; k_(3,4)=-2

y_(общее одн)=С_(1)e^(0x)+C_(2)*x*e^(0x)+C_(3)e^(-2x)+C_(4)*x*e^(-2x)

характеристическое уравнение имеет корень х=0 кратности 2

частное решение данного неоднородного будем искать в виде похожем на правую часть, т. е. на f(x)=x-x^2 с учетом кратности корня x=0:
y_(част. неодн)=x^2*(Ax^2+Bx+C)

y_(част. неодн)=Ax^4+Bx^3+Cx^2

y`_(част. неодн)=4Ax^3+3Bx^2+2Cx

y``_(част. неодн)=12Ax^2+6Bx+2C

y```_(част. неодн)=24Ах+6B

y````_(част. неодн)=24A

подставляем в данное уравнение:

24A+4*(24Ax+6B)+4*(12Ax^2+6Bx+2C) = x - x^2

48Ax^2+(96A+24B)x+(24A+24B+8C) = x - x^2

Два многочлена равны, степени равны, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной:
{48A=-1 ⇒ A=-1/48
{96A+24B=1 ⇒ B= - 1/24
{24A+24B+8C=0 ⇒ C=3/16

О т в е т. y_(общее неодн.)=y_(общее одн.)+y_(част. неодн)=

=С_(1)+C_(2)*x+C_(3)e^(-2x)+C_(4)*x*e^(-2x)+x^(2)*((-x^2/48)-(x/24)+(3/16))