Задача 43691 ...

vk229746389

26 января 2020 г. в 14:42

Решите тригонометрические уравнения

4.7.9
sin² (45° +x) = sin² (45° – x) + √7 cos x

4.7.11
sin 3x + sin 5x = 2 (cos² 2x – sin² 3x), [0, 180]

sova

27 января 2020 г. в 09:55

sin²(45°+x)–sin²(45°–x)=√7·cosx

По формуле a²–b²

(sin(45°+x)–sin(45°–x))·((sin(45°+x)+sin(45°–x))=√7·cosx

Применяем формулы разности и суммы синусов ( см. приложение)

(2sinx·cos45 ° )·(2sin45 ° cosx)=√7·cosx

2sin45 ° ·cos45 ° =sin90 ° =1


2sinx·cosx=√7·cosx

2sinx·cosx–√7·cosx=0

cosx·(2sinx–√7)=0

cosx=0 ⇒ x=(π/2)+πk, k ∈ Z

или

2sinx–√7=0 ⇒ sinx=√7/2 не имеет корней, √7/2>1

О т в е т. (π/2)+πk, k ∈ Z


2.

2cos²2x=1+cos4x

2sin²3x=1–cos6x

Уравнение принимает вид:

sin3x+sin5x=cos4x+cos6x

2sin4x·cos(–x)=2cos5x·cos(–x)

cos(–x)=cosx

2·cosx·(sin4x–cos5x)=0


cosx=0 ⇒ x=(π/2)+πk, k ∈ Z

или

sin4x–cos5x=0 ⇒ sin4x–sin((π/2)–5x)=0 ⇒

2sin((9/2)x–(π/4)) · sin((π/4)–x)=0

sin((9/2)x–(π/4))=0 ⇒ (9/2)x–(π/4)=πk, k ∈ Z ⇒ x=(π/18)+(2π/9)k, k ∈ Z

sin((π/4)–x)=0 ⇒ – sin(x– (π/4))=0 ⇒ x– (π/4)=πn, n ∈ Z ⇒ x=(π/4)+πn, n ∈ Z