Задача 33358 Нужна помощь с интегралами. ...
Условие
Решение
Выносим 3 из-под знака корня:
1/sqrt(3) ∫ dx/sqrt((2/3)-x^2)=(1/sqrt(3))arcsin(x/sqrt(2/3))+C=
=(1/sqrt(3))arcsin((sqrt(3)x))/sqrt(2))+C
2. ∫ dx/(2x-3)^3
замена
2x - 3=t
x=(t-3)/2
dx=(1/2)dt
= (1/2)∫dt/t^(3)=(1/2) ∫ t^(-3)dt=(1/2)t^(-2)/(-2)=(-1/4)*(1/t^2)+C=
=(-1/4)*(1/(2x-3)^2)+C
3.
по частям
u=x
dv=cos(3x)dx
du=dx
v= ∫ cos(3x)dx=(1/3)sin(3x)
=u*v- ∫ v*du=
=x*(1/3)*sin(3x) - (1/3) ∫ sin(3x)dx=
=(x*sin3x)/3-(1/9)*(-cos3x) + C=
=(x*sin3x)/3 +(1/9) cos3x+C
4.
x^3+x^2=x^2*(x+1)
Подынтегральная дробь раскладывается на простейшие ( три !):
(x+2)/(x^3+x^2)=(A/x)+(B/x^2)+D/(x+1)
x+2= A*x*(x+1) + B*(x+1) + D*x^2
При х=0
2=В
При х=-1
1=D
При х=1
3=2А+2В+D
A=-1
О т в е т. -∫dx/x+2 ∫ dx/x^2+ ∫ dx/(x+1)= - ln|x| - (2/x) + ln|x+1| + C
5.
sin^23x*cos^23x=(1/4)*(4sin^23x*cos^23x)=(1/4)sin^26x
=(1/4) ∫ dx/sin^26x= (1/24)(-ctg6x)+C
6.
x^(1/4)=t
x=t^4
dx=4t^3dt
sqrt(x)=t^2
x^(3/4)=t^3
получаем
∫ (t^2)*(4t^3dt)/(t^3+1)=4 ∫ t^5dt/(t^3+1)
t^5/(t^3+1) - неправильная дробь
выделяем целую часть
t^5=t^5+t^2-t^2
t^5/(t^3+1)= (t^5+t^2)/(t^3+1)- (t^2)/(t^3+1)=t^2 - (t^2)/(t^3+1)
∫ t^5dt/(t^3+1)= ∫ t^2dt - ∫ (t^2dt)/(t^3+1)=
=(t^3/3)-(1/3) ∫ du/u ( u=t^3+1; du=3t^2dt; t^2dt=(1/3)du)
=(t^3/3)-(1/3)ln|t^3+1|+C, t=x^(1/4)
