Задача 33358 Нужна помощь с интегралами. ...

vk84099893

7 февраля 2019 г. в 18:57

Нужна помощь с интегралами.

sova

7 февраля 2019 г. в 19:58

★

1. табличный.
Выносим 3 из–под знака корня:
1/√3 ∫ dx/√(2/3)–x²=(1/√3)arcsin(x/√2/3)+C=

=(1/√3)arcsin((√3x))/√2)+C

2. ∫ dx/(2x–3)³
замена
2x – 3=t
x=(t–3)/2
dx=(1/2)dt
= (1/2)∫dt/t³=(1/2) ∫ t^–3dt=(1/2)t^–2/(–2)=(–1/4)·(1/t²)+C=
=(–1/4)·(1/(2x–3)²)+C
3.
по частям
u=x
dv=cos(3x)dx
du=dx
v= ∫ cos(3x)dx=(1/3)sin(3x)

=u·v– ∫ v·du=

=x·(1/3)·sin(3x) – (1/3) ∫ sin(3x)dx=

=(x·sin3x)/3–(1/9)·(–cos3x) + C=
=(x·sin3x)/3 +(1/9) cos3x+C

4.
x³+x²=x²·(x+1)
Подынтегральная дробь раскладывается на простейшие ( три !):

(x+2)/(x³+x²)=(A/x)+(B/x²)+D/(x+1)

x+2= A·x·(x+1) + B·(x+1) + D·x²
При х=0
2=В
При х=–1
1=D
При х=1
3=2А+2В+D
A=–1

О т в е т. –∫dx/x+2 ∫ dx/x²+ ∫ dx/(x+1)= – ln|x| – (2/x) + ln|x+1| + C

5.
sin²3x·cos²3x=(1/4)·(4sin²3x·cos²3x)=(1/4)sin²6x

=(1/4) ∫ dx/sin²6x= (1/24)(–ctg6x)+C

6.
x^1/4=t
x=t⁴
dx=4t³dt
√x=t²
x^3/4=t³

получаем
∫ (t²)·(4t³dt)/(t³+1)=4 ∫ t⁵dt/(t³+1)
t⁵/(t³+1) – неправильная дробь

выделяем целую часть
t⁵=t⁵+t²–t²

t⁵/(t³+1)= (t⁵+t²)/(t³+1)– (t²)/(t³+1)=t² – (t²)/(t³+1)

∫ t⁵dt/(t³+1)= ∫ t²dt – ∫ (t²dt)/(t³+1)=

=(t³/3)–(1/3) ∫ du/u ( u=t³+1; du=3t²dt; t²dt=(1/3)du)

=(t³/3)–(1/3)ln|t³+1|+C, t=x^1/4