Задача 50645 Помогите разобраться и решить! Дан куб...

a_luda_i

2020-05-18 16:52:18

Помогите разобраться и решить!
Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Точка К середина стороны ВС. Найти угол между прямыми А1С, В1К.

sova

2020-05-18 18:06:23

★

Проводим СМ || B_(1)K

∠ (A_(1)C, B_(1)K)= ∠ (A_(1)C, CM)= ∠ A_(1)CM

Находим его из треугольника A_(1)CМ

Пусть ребро куба равно [b]а[/b].

A_(1)C=[b]a[/b]*sqrt(3)

A_(1)M=CM=sqrt(a^2+(a/2)^2)=a*sqrt(5)/2

По теореме косинусов:
A_(1)M^2=А_(1)С^2+CM^2-2*А_(1)С*CM*cos ∠ A_(1)CM ⇒

cos ∠ A_(1)CM=sqrt(3)/sqrt(5)=sqrt(0,6)

∠ A_(1)CM=arccos(sqrt(0,6))


Можно и по-другому.

Δ A_(1)CМ- равнобедренный

MN ⊥ A_(1)C

MN- медиана

A_(1)N=NC=a*sqrt(3)/2

сos ∠ A_(1)CM=NC/MC=sqrt(3)/sqrt(5)