Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 32680 ...

Условие

Найти решение уравнения y′′+6y′+5y=(25x^2)−2, удовлетворяющее начальным условиям y(0)=12,y′(0)=−12. Найти y(3).

математика 1695

Решение

Решаем однородное уравнение:
y``+6y`+5y=0

Составляем характеристическое уравнение
k^2+6k+5=0
D=36-20=16
k_(1)=-5; k_(2)=-1
два действительных различных корня

Общее решение однородного уравнения пишем по правилу
у_(о)=C_(1)e^(-5x)+C_(2)e^(-x)

Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде,
похожем на правую часть.

Справа квадратный трехчлен, значит
у_(ч)=ax^2+bx+c

y`_(ч)=2ax+b
y``_(ч)=2a

Подставляем в данное уравнение:
2a+6*(2ax+b)+5*(ax^2+bx+c)=25x^2-2;
приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
5а=25
12a+5b=0
2a+6b+5c=-2

a=5
b=-12
c=12

Общее решение данного неоднородного уравнения
-сумма у_(о) и у_(ч)

y=C_(1)e^(-5x)+C_(2)e^(-x) + 5x^2-12x+12

Применяем данные начальные условия
у(0)=12
y`_(0)=-12

Находим
y`=-5C_(1)*e^(-5x)-C_(2)e^(-x)+10x-12

{C_(1)+C_(2)+12=12
{-5C_(1)-C_(2)-12=-12

C_(1)=C_(2)=0

y=5x^2-12x+12-решение данного уравнения, удовлетворяющее
начальным условиям

у(3)=5*9-36+12
у(3)=21
О т в е т. у(3)=21

Написать комментарий