y``+6y`+5y=0
Составляем характеристическое уравнение
k^2+6k+5=0
D=36-20=16
k_(1)=-5; k_(2)=-1
два действительных различных корня
Общее решение однородного уравнения пишем по правилу
у_(о)=C_(1)e^(-5x)+C_(2)e^(-x)
Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде,
похожем на правую часть.
Справа квадратный трехчлен, значит
у_(ч)=ax^2+bx+c
y`_(ч)=2ax+b
y``_(ч)=2a
Подставляем в данное уравнение:
2a+6*(2ax+b)+5*(ax^2+bx+c)=25x^2-2;
приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
5а=25
12a+5b=0
2a+6b+5c=-2
a=5
b=-12
c=12
Общее решение данного неоднородного уравнения
-сумма у_(о) и у_(ч)
y=C_(1)e^(-5x)+C_(2)e^(-x) + 5x^2-12x+12
Применяем данные начальные условия
у(0)=12
y`_(0)=-12
Находим
y`=-5C_(1)*e^(-5x)-C_(2)e^(-x)+10x-12
{C_(1)+C_(2)+12=12
{-5C_(1)-C_(2)-12=-12
C_(1)=C_(2)=0
y=5x^2-12x+12-решение данного уравнения, удовлетворяющее
начальным условиям
у(3)=5*9-36+12
у(3)=21
О т в е т. у(3)=21