Задача 32680 ...

sanchos26

13 января 2019 г. в 09:44

Найти решение уравнения y′′+6y′+5y=(25x²)−2, удовлетворяющее начальным условиям y(0)=12,y′(0)=−12. Найти y(3).

sova

13 января 2019 г. в 11:03

★

Решаем однородное уравнение:
y``+6y`+5y=0

Составляем характеристическое уравнение
k²+6k+5=0
D=36–20=16
k₁=–5; k₂=–1
два действительных различных корня

Общее решение однородного уравнения пишем по правилу
у_о=C₁e^–5x+C₂e^–x

Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде,
похожем на правую часть.

Справа квадратный трехчлен, значит
у_ч=ax²+bx+c

y`_ч=2ax+b
y``_ч=2a

Подставляем в данное уравнение:
2a+6·(2ax+b)+5·(ax²+bx+c)=25x²–2;
приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
5а=25
12a+5b=0
2a+6b+5c=–2

a=5
b=–12
c=12

Общее решение данного неоднородного уравнения
–сумма у_о и у_ч

y=C₁e^–5x+C₂e^–x + 5x²–12x+12

Применяем данные начальные условия
у(0)=12
y`₀=–12

Находим
y`=–5C₁·e^–5x–C₂e^–x+10x–12

{C₁+C₂+12=12
{–5C₁–C₂–12=–12

C₁=C₂=0

y=5x²–12x+12–решение данного уравнения, удовлетворяющее
начальным условиям

у(3)=5·9–36+12
у(3)=21
О т в е т. у(3)=21