Задача 26948 4.39) tg3x=(2+sqrt(3))tgx...

slava191

30.04.2018

4.39) tg3x=(2+sqrt(3))tgx

SOVA

01.05.2018

tg3x=tg(x+2x)=(tgx+tg2x)/(1-tgx*tg2x)

tg2x=2tgx/(1-tg^2x)

tg3x=(tgx+(2tgx/1-tg^2x))/(1-tgx*(2tgx/1-tg^2x))=
=(tgx*(1-tg^2x)+2tgx)/(1-tg^2x-2tg^2x)=
=(3tgx-tg^3x)/(1-3tg^2x)

Уравнение принимает вид:
(3tgx-tg^3x)/(1-3tg^2x)=(2+sqrt(3))tgx
tgx*( (3-tg^2x)/(1-3tg^2x)-(2+sqrt(3)))=0

x ≠ (Pi/2)+Pim, m ∈ Z
tg^2x≠1/3 ⇒tgx≠1/sqrt(3) и tgx≠ - 1/sqrt(3)
x ≠ (Pi/6)+Pim, m ∈ Z и x ≠ -(Pi/6)+Pim, m ∈ Z

tgx=0 ⇒ [b] x=Pik, k ∈ Z[/b]

ИЛИ

(3-tg^2x)/(1-3tg^2x)-(2+sqrt(3))=0

tg^2x=(sqrt(3)-1)/(5+3sqrt(3))

tgx= - sqrt((sqrt(3)-1)/(5+3sqrt(3)))
или
tgx=sqrt((sqrt(3)-1)/(5+3sqrt(3)))
[b]
x=arctg(- sqrt((sqrt(3)-1)/(5+3sqrt(3)))) + Pin, n ∈ Z
х=arctg(sqrt((sqrt(3)-1)/(5+3sqrt(3)))) + Pin, n ∈ Z
[/b]

О т в е т. x=Pik, k ∈ Z
±arctg(sqrt((sqrt(3)-1)/(5+3sqrt(3)))) + Pin, n ∈ Z