Задача 30478 ...

vk64194743

2018-10-23 23:05:33

решите уравнение 2tgx+tgx/2+4ctg2x=ctg3x
докажите тотожность 1-(sin^6α +cos^6α )=3sin^2α +*cos^2α

sova

2018-10-24 17:10:14

1.
Так как tg α+2ctg2α=ctgα,то

2tgx+4ctg2x=2ctgx

tg(x/2)+2ctgx=ctg(x/2)

Уравнение примет вид:

ctg(x/2)=ctg3x
cos(x/2)/sin(x/2)-(cos(3x))/(sin(3x))=0
cos(x/2)*sin(3x)-sin(x/2)*cos3x=0
sin(x/2) ≠0
sin3x ≠0

sin((3x)-(x/2))=0
sin(5x/2)=0
(5x/2)=πk, k ∈ Z
x=(2/5)πk, k ∈ Z
x ≠2πn, n ∈ Z
x ≠(1/3)πm, m ∈ Z

О т в е т. x=(2/5)πk, k ∈ Z, но
x ≠2πn, n ∈ Z
x ≠(1/3)πm, m ∈ Z

2.
в условии опечатка, знака + не должно быть.

sin^6 α+cos^6 α =(sin^2 α)^3 +(cos^2 α)^3=

=(sin^2 α +cos^2 α )*(sin^4 α -sin^2 α cos^2 α +cos^4 α )=

=1*(sin^4 α -sin^2 α cos^2 α +cos^4 α )=


1-(sin^6 α +cos^6 α )=1-(sin^4 α -sin^2 α cos^2 α +cos^4 α )=

=1-sin^4 α +sin^2αcos^2 α -cos^4α=

=(1-sin^2 α )*(1+sin^2 α )+cos^2 α *(sin^2 α-cos^2α)=

=cos^2 α *(1+sin^2 α )+cos^2 α *(sin^2 α -cos^2 α)=

=cos^2 α *(1+sin^2 α +sin^2 α -cos^2 α )=

=cos^2 α *(sin^2+sin^2 α +(1-cos^2 α))=

=cos^2 α *3sin^2 α

левая часть равна правой, тождество доказано.