Задача 52762 Найдите все значения a, при каждом из...

tupiza

28 июня 2020 г. в 16:33

Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции

f(x)=x–2|x|+|x²–2(a+1)x+a²+2a|

больше 4?

sova

28 июня 2020 г. в 20:07

x²–2(a+1)+a²+2a=(x–(a+1))²–1=(x–a–2)(x–а)

Рассматриваем координатную плоскость хОа:
(далее рассуждения аналогичны методу интервалов)

Прямые x=a+2 и x=a разбивают координатную плоскость хОа:
на три области: ( cм. рис.1)

Прямая x=0 разбивает координатную плоскость на две части (рис.2)

Раскрываем знаки модулей в каждой области:
Первый случай:
I:
{x ≥ 0;
{(x–a–2)·(x–a) ≥ 0

a>0

Функция принимает вид:f(x)=x–2x+x²–2(a+1)x+a²+2a

f(x)=x²–(2a+3)x+a²+2a

Наим значение в вершине при x_о=(2a+3)/2

y_o=(2a+3)²/4–(2a+3)²/2+a²+2a=(–4a–9)/4

(–4a–9)/4 > 4 ⇒ –4a–9 >16 ⇒ –4a > 25 и учитывая , что a >0⇒ a < –25/4, что противоречит a>0

Первый случай не имеет решений.


и так еще 5 раз :

Второй случай:
II:
{x < 0;
{(x–a–2)·(x–a) ≥ 0
a ≤
0 в области II:

Функция принимает вид:f(x)=x+2x+x²–2(a+1)x+a²+2a

f(x)=x²–(2a–1)x+a²+2a

Наим значение в вершине при x_о=(2a–1)/2
y_o=(2a–1)²/4–(2a–1)²/2+a²+2a=(4a–1)/4 ⇒

(4a–1)/4 > 4 ⇒ 4a–1 > 16 ⇒ 4a > 17 и учитывая , что a ≤ 0⇒ a < 17/4 ⇒ a ≤ 0

...