Задача 44459 (4cos^2x-1)sqrt(49Pi^2-x^2) = 0, [20;...

slava191

22 февраля 2020 г. в 22:21

(4cos²x–1)√49π²–x² = 0, [20; 25] (в5)

sova

22 февраля 2020 г. в 22:52

★

Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из них равен 0, а другой при этом не теряет смысла

Первый множитель равен 0:

{4cos²x–1=0 ⇒ cos²x=1/4 ⇒ cosx= ± (1/2)
{49π²–x² ≥ 0 ⇒ (7π–x)·(7π+x) ≥ 0 ⇒ –7π ≤ x ≤ 7π

Так как уравнение
cosx= 1/2

имеет корни в первой и в четвертой четвертях:

x=(π/3)+2πn, n ∈ Z и х=– (π/3) +2πm, m ∈ Z

а уравнение
сosx=–1/2

имеет корни во второй и третьей четвертях:

x= (2π/3)+2πn, n ∈ Z и х= – (2π/3) +2πm, m ∈ Z


, то корни уравнения можно записать в виде:

x= (π/3)+πk, k ∈ Z или x= –(π/3)+πm, m ∈ Z



Второму неравенству системы удовлетворяют корни:

при k=–7;–6; –5;–4;–3;–2;–1;0;1;2;3;4;5;6

и

при m=–6; –5;–4;–3;–2;–1;0;1;2;3;4;5;6;7

о т в е т первого случая
x= (π/4)+πk, k ∈ Z
k=–7;–6; –5;–4;–3;–2;–1;0;1;2;3;4;5;6
x=– – (π/4)+πm, m ∈ Z
m=–6; –5;–4;–3;–2;–1;0;1;2;3;4;5;6;7

Второй множитель равен 0

√49π²–x²=0 ⇒ 49π²–x²=0 ⇒ x= ± 7π

о т в е т второго случая x= ± 7π

б)
Так как –7π ≤ x ≤ 7π
и 7π<25
то выбираем корни, принадлежащие [20;7π]

(π/3)+6π< 20, так как 19·π< 60

и
6π<20<7π


Указанному промежутку [15;20] принадлежат корни:

x₁=–(π/3)+7π=20π/3

x₂=7π

cм. рис.

О т в е т.

x= (π/3)+πk, k ∈ Z
k=–7;–6; –5;–4;–3;–2;–1;0;1;2;3;4;5;6
x=– (π/3)+πm, m ∈ Z
m=–6; –5;–4;–3;–2;–1;0;1;2;3;4;5;6;7


б) 20π/3; 7π