Задача 45708 Найти корни уравнений. Спасибо за помощь...
Условие
Решение
тригонометрическим уравнениям, которые решают по формулам
( cм. приложение)
[red]1.[/red]
Cделаем [i]замену переменной[/i]:
[m]\frac{\pi (x+2)}{4}=t[/m]
Уравнение
[m]cost=\frac{\sqrt{2}}{2}[/m] - [i]простейшее[/i]
[m]t=\pm arccos\frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi k, k \in Z[/m] ⇒ [m]t=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi k, k \in Z[/m]
Обратный переход:
[m]\frac{\pi (x+2)}{4}=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi k, k \in Z[/m]
Умножаем на 4
[m]\pi (x+2)=\pm \pi +8\pi k, k \in Z[/m]
Делим на π:
[m]x+2=\pm 1+8\cdot k, k \in Z[/m]
[m]x=-2 \pm 1+8\cdot k, k \in Z[/m]
[m] x=-3+8\cdot k, k \in Z[/m] или[m] x=-1+8\cdot k, k \in Z[/m]
О т в е т. [m] -3+8\cdot k, ; -1+8\cdot k, n \in Z[/m]
[red]2.[/red]
Cделаем [i]замену переменной[/i]:
[m]\frac{\pi x}{5}=t[/m]
Уравнение
[m]tg t=1[/m] - [i]простейшее[/i]
[m]t= arctg 1+ \pi k, k \in Z[/m] ⇒ [m]t= \frac{\pi}{4}+\pi k, k \in Z[/m]
Обратный переход:
[m]\frac{\pi x}{5}= \frac{\pi}{4}+\pi k, k \in Z[/m]
Умножаем на 5
[m]\pi x= \frac{5\pi}{4}+5\pi k, k \in Z[/m]
Делим на π:
[m]x= \frac{5}{4}+5\cdot k, k \in Z[/m]
О т в е т.[m]x= \frac{5}{4}+5\cdot k, k \in Z[/m]
[red]3.[/red]
Cделаем [i]замену переменной[/i]:
[m]\frac{\pi x}{3}=t[/m]
Уравнение
[m]sin t=-0,5 [/m] - [i]простейшее[/i]
[m]t= (-1)^{k}arcsin (-0,5)+ \pi k, k \in Z[/m] ⇒ [m]t=(-1)^{k} (- \frac{\pi}{6})+ \pi k, k \in Z[/m] ⇒ [m]t=(-1)^{k+1} \frac{\pi}{6}+ \pi k, k \in Z[/m]
Изменили показатель (-1)
Обратный переход:
[m]\frac{\pi x}{3}=(-1)^{k+1} \frac{\pi}{6}+ \pi k, k \in Z[/m]
Умножаем на 3
[m]\pi x=(-1)^{k+1} \frac{\pi}{2}+ 3\pi k, k \in Z[/m]
Делим на π:
[m]x= (-1)^{k+1}\frac{1}{2}+ 3\cdot k, k \in Z[/m]
О т в е т.[m]x= (-1)^{k+1}\frac{1}{2}+ 3\cdot k, k \in Z[/m]
----------------
