Задача 16250 Здравствуйте, помогите пожалуйста...

sasha19981306

03.06.2017

Здравствуйте, помогите пожалуйста доказать, что (cos(x))`= - sin(x) Заранее спасибо!!!!!!

SOVA

03.06.2017

★

1.
По определению
f(x)=cosx
f`(x)=lim_(Δx→0)(Δf)/(Δx)=

=lim_(Δx→0)(cos(x+Δx)-cosx)/(Δx)=

=lim_(Δx→0)(cos(x+Δx)-cosx)/(Δx)=
[формула сosα -cosβ=-2sin((α+ β)/2)*sin((α - β)/2)]
=lim_(Δx→0)(-2sin(x+(Δx/2))*sin((Δx)/2)/(Δx)=

=lim_(Δx→0)(-1)*sin(x+(Δx/2))*sin((Δx)/2)/(Δx/2)=

=[первый замечательный предел
lim_(Δx→0)sin((Δx)/2)/((Δx)/2)=1;
функция у=sinx непрерывна, поэтому
lim_(Δx→0)sin(х+(Δx/2))/((Δx)/2)=sinx]=

=-sinx
2.

Обычно по определению получают формулу (sinx)`=cosx

Так как по формулам приведения
cosx=sin((π/2)-x),
то по правилу нахождения производной сложной функции
(sinu)=(cosu)*u`

(cosx)`=(sin((π/2)-x))`=(cos((π/2)-x))*((π/2)-x)`=cos((π/2)-x))*(-1)=
=-sinx