Задача 35362 ...

vk456049961

4 апреля 2019 г. в 15:08

Практическая работа № 27
Тема: «Методы решения тригонометрических уравнений»

ВАРИАНТ № 2

Решить уравнения:
1) 2sin²x – √3 sin x = 0;
2) sin²x – 3 sin x + 2 = 0;
3) 8sin²x + cos x + 1 = 0;
4) sin x – √3cosx = 0;
5) 3sin²x – 2 sin x cos x – cos²x = 0.

sova

4 апреля 2019 г. в 15:43

1.
sinx·(2sinx–√3)=0
sinx=0 или 2sinx–√3=0

sinx=0 ⇒ x=πk, k ∈ Z

sinx=√3/2 ⇒ (–1)^k·arcsin(√3/2) + πk, k ∈ Z
x= (–1)^k·(π/3) + πk, k ∈ Z

2.
Замена переменной:
sinx=t
Получаем квадратное уравнение
t²–3t+2=0
D=9–8=1
Уравнение имеет два корня
t₁=(3–1)/2=1; t₂=(3+1)/2=2

Обратный переход
sinx=1
x=(π/2)+2πk, k ∈ Z[/b]

или

sinx=2 – уравнение не имеет корней, так как |sinx| ≤ 1 не будет принимать значение, равное 2

3.
8sin²x+cosx+1=0

Так как sin²x+cos²x=1, то sin²x=1–cos²x

8·(1–cos²x)+cosx+1=0
8cos²x–cosx–9=0

Замена переменной:
cosx=t
Получаем квадратное уравнение
8t²–t–9=0
D=1–4·8·(–9)=289
Уравнение имеет два корня
t₁=(1–17)/16=–1; t₂=(1+17)/16=18/16=9/8

Обратный переход

cosx=–1
x=π+2πn, n ∈ Z

или
cosx=9/8

9/8 > 1
уравнение не имеет корней, так как |cosx| ≤ 1 не будет принимать значение, равное 9/8

4.
sinx–√3cosx=0

Это однородное уравнение первой степени.

Так как косинус и синус одновременно не могут равняться 0, то
один из них отличен от нуля, пусть
cosx ≠ 0

Делим уравнение на cosx≠ 0

(sinx/cosx)–√3(cosx/cosx)=0
tgx–√3=0
tgx=√3
x=arctg(√3)+πn, n ∈ Z
x=(π/3)+πn, n ∈ Z

5.
3sin²x–2sinxcosx–cos²x=0

Это однородное уравнение второй степени.

Так как косинус и синус одновременно не могут равняться 0, то
один из них отличен от нуля, пусть
cosx ≠ 0

Делим уравнение на cos²x≠ 0

3tg²x–2tgx–1=0
D=4–4·(3)·(–1)=16
tgx=–1/3 или tgx=1

x=arctg(–1/3)+πn, n ∈ Z или х=arctg1+πn, n ∈ Z

х= – arctg(1/3)+πn, n ∈ Z или х=(π/4)+πn, n ∈ Z