Задача 35362 2 вариант...
Условие
Все решения
sinx*(2sinx-sqrt(3))=0
sinx=0 или 2sinx-sqrt(3)=0
sinx=0 ⇒ [b] x=πk, k ∈ Z[/b]
sinx=sqrt(3)/2 ⇒ (-1)^(k)*arcsin(sqrt(3)/2) + πk, k ∈ Z
x= [b](-1)^(k)*(π/3) + πk, k ∈ Z[/b]
2.
Замена переменной:
sinx=t
Получаем квадратное уравнение
t^2-3t+2=0
D=9-8=1
Уравнение имеет [b]два[/b] корня
t_(1)=(3-1)/2=1; t_(2)=(3+1)/2=2
Обратный переход
sinx=1
x=(π/2)+2πk, k ∈ Z[/b]
или
sinx=2 - уравнение не имеет корней, так как |sinx| ≤ 1 не будет принимать значение, равное 2
3.
8sin^2x+cosx+1=0
Так как sin^2x+cos^2x=1, то sin^2x=1-cos^2x
8*(1-cos^2x)+cosx+1=0
[b]8cos^2x-cosx-9=0[/b]
Замена переменной:
cosx=t
Получаем квадратное уравнение
8t^2-t-9=0
D=1-4*8*(-9)=289
Уравнение имеет [b]два[/b] корня
t_(1)=(1-17)/16=-1; t_(2)=(1+17)/16=18/16=9/8
Обратный переход
cosx=-1
[b]x=π+2πn, n ∈ Z[/b]
или
cosx=9/8
9/8 > 1
уравнение не имеет корней, так как |cosx| ≤ 1 не будет принимать значение, равное 9/8
4.
sinx-sqrt(3)cosx=0
Это однородное уравнение первой степени.
Так как косинус и синус одновременно не могут равняться 0, то
один из них отличен от нуля, пусть
cosx ≠ 0
Делим уравнение на cosx≠ 0
(sinx/cosx)-sqrt(3)(cosx/cosx)=0
tgx-sqrt(3)=0
tgx=sqrt(3)
x=arctg(sqrt(3))+πn, n ∈ Z
[b]x=(π/3)+πn, n ∈ Z[/b]
5.
3sin^2x-2sinxcosx-cos^2x=0
Это однородное уравнение второй степени.
Так как косинус и синус одновременно не могут равняться 0, то
один из них отличен от нуля, пусть
cosx ≠ 0
Делим уравнение на cos^2x≠ 0
3tg^2x-2tgx-1=0
D=4-4*(3)*(-1)=16
tgx=-1/3 или tgx=1
x=arctg(-1/3)+πn, n ∈ Z или х=arctg1+πn, n ∈ Z
[b]х= - arctg(1/3)+πn, n ∈ Z [/b] или [b]х=(π/4)+πn, n ∈ Z[/b]