Задача 36703 25^(log(5)(sinx)) +...

anastasi

4 мая 2019 г. в 12:02

25^log₅(sinx) + 0.5·2^{log₄(3cos2x)} = 1

sova

4 мая 2019 г. в 12:53

ОДЗ:
{sinx>0 ⇒ (0+2πn;π+2πn) n ∈ Z
{3cos²x>0 ⇒ cosx ≠ 0 ⇒ x ≠ (π/2)+πk, k ∈ Z

ОДЗ: (0+2πn;(π/2)+2πn)U((π/2)+2πn; π+2πn) n ∈ Z

25^log₅(sinx)=5^{2·log₅(sinx)}=5^{log₅(sinx)2}=sin²x

2^{log₄(3cos2x)}=2^{log₂₂(3cos2x)}=2^{(1/2)·log₂(3cos2x)}=2^{log₂(3cos2x)1/2}=(3cos²x)^1/2=


=√3|cosx|

Уравнение принимает вид

sin²x+0,5·√3·|cosx| =1

Раскрываем знак модуля на ОДЗ:

(1)

на (0+2πn;(π/2)+2πn), n ∈ Z
cosx>0
|cosx|=cosx

sin²x+(√3/2)cosx=1

sin²x+(√3/2)cosx–1=0

(√3/2)cosx–(1–sin²x)=0

(√3/2)cosx–cos²x=0

cosx·(√3/2)–cosx)=0

Согласно ОДЗ
cosx ≠ 0

Значит
cosx=√3/2
x= ± arccos(√3/2)+2πm, m ∈ Z
x= ±(π/6) +2πm, m ∈ Z
х=– (π/6) +2πm, m ∈ Z находятся в четвертой четверти и не принадлежат ОДЗ

О т в е т (1) (π/6) +2πm, m ∈ Z


(2)

на((π/2)+2πn; π+2πn) n ∈ Z
cosx<0

|cosx|=– cosx

sin²x–(√3/2)cosx=1

sin²x–(√3/2)cosx–1=0

–(√3/2)cosx–(1–sin²x)=0

–(√3/2)cosx–cos²x=0

–cosx·(√3/2)+cosx)=0

Согласно ОДЗ
cosx ≠ 0

Значит
cosx=– √3/2
x= ± arccos(–√3/2)+2πk, k ∈ Z
x= ±(5π/6) +2πk, k ∈ Z
х=– (5π/6) +2πk, k ∈ Z находятся в третьей четверти и не принадлежат ОДЗ

О т в е т (2) (5π/6) +2πk, k ∈ Z


О т в е т.
(π/6) +2πm, m ∈ Z
(5π/6) +2πk, k ∈ Z