Задача 39364 Доказать на сходимость и найти сумму...

vk326489286

2019-09-11 18:23:09

Доказать на сходимость и найти сумму ряда

sova

2019-09-11 21:55:27

S_(n)=(sqrt(1+2)-2sqrt(1+1)+sqrt(1))+(sqrt(2+2)-2sqrt(1+2)+sqrt(2))+

+(sqrt(3+2)-2sqrt(3+1)+sqrt(3))+...+[blue](sqrt(n-2+2)-2sqrt(n-2+1)+sqrt(n-2))[/blue]+ [green](sqrt(n-1+2)-2sqrt(n-1+1)+sqrt(n-1))[/green]+[red](sqrt(n+2)-2sqrt(n+1)+sqrt(n))[/red]=

=-2sqrt(2)+sqrt(1)+sqrt(2)+sqrt(n-1+2)+sqrt(n+2)-2sqrt(n+1)=

=1-sqrt(2)+sqrt(n+2)-sqrt(n+1)

[m]\lim_{n \to\infty}S_{n}= \lim_{n \to\infty}(1-\sqrt{2}+\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})=[/m]

[m]=\lim_{n \to\infty}(1-\sqrt{2})+ \lim_{n \to\infty}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})=[/m]

[m]=(1-\sqrt{2})+ \lim_{n \to\infty}\frac{(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})}{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})}=[/m]

[m]=(1-\sqrt{2})+ \lim_{n \to\infty}\frac{(n+2)-(n+1)}{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})}=[/m]

=[m](1-\sqrt{2})+ \lim_{n \to\infty}\frac{1}{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})}=1-\sqrt{2}+0=1-\sqrt{2}[/m]

Сходится по определению. Существует предел n-ой конечной суммы