Задача 33844 Распишите как можно подробнее,...
Условие
Решение
sqrt(ax-x^2-π^2)=y
y ≥ 0
Получим уравнение
siny + cos2y=0
Так как cos2y=1-2sin^2y
siny + 1 - 2sin^2y = 0
2sin^2y - siny - 1 = 0
Квадратное уравнение
D = 1 - 4*2*(-1) = 9
siny = -1/2 или siny = 1
Обратный переход
sinsqrt(ax-x^2-π^2)=-1/2 или sinsqrt(ax-x^2-π^2)=1
Требование задачи означает, что либо одно уравнение имеет два корня, либо каждое из уравнений имеет по одному корню.
[b]sinsqrt(ax-x^2-π^2)=-1/2[/b]
sqrt(ax-x^2-π^2)=(-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈[b] N[/b]
или
[b]sinsqrt(ax-x^2-π^2)=1[/b]
sqrt(ax-x^2-π^2)=(-3π/2)+2πn, [b] N[/b]
sqrt(ax-x^2-π^2)=(-1)^(k)*(-π/6)+πk, k ∈[b] N[/b]
значит
sqrt(ax-x^2-π^2)=7π/6 или sqrt(ax-x^2-π^2)=11π/6 или sqrt(ax-x^2-π^2)=23π/6 ...
Рассмотрим
y=sqrt(ax-x^2-π^2) , y ≥ 0
-x^2+ax-π^2 ≥ 0
x^2-ax+π^2 ≤ 0
D=a^2-4π^2
a^2-4π^2 ≥ 0 ⇒ a ≤ -2π или a ≥ 2π
При a ∈ (- ∞ ; - 2π] U [2π; + ∞ ) sqrt(ax-x^2-π^2) имеет смысл
Возводим y=sqrt(ax-x^2-π^2) , y ≥ 0 в квадрат
y^2=ax-x^2-π^2
x^2-ax+y^2=-π^2
Выделим полный квадрат
(x-(a/2))^2+y^2=(a^2/4)-π^2
Уравнение окружности с центром в точке (a/2;0) и радиусом R^2=(a^2/4)-π^2
т.е. функция y=sqrt(ax-x^2-π^2) , y ≥ 0 [b]ограничена[/b]
Найдем при каких значениях параметра a
полуокружность (x-(a/2))^2+y^2=(a^2/4)-π^2; y ≥ 0
пересекается с прямыми y=7π/6; y=11π/6;... y=π/2; y=5π/2;.. ровно в двух точках