какой-то закономерности, которая упростит вычисления.[/b]
Постараемся ее найти:
По условию y=x^2 - 2 пересекается с прямой y= f(x)
Пусть f(x)=kx+m
Осуществим параллельный перенос на 2 единицы вверх
Получим
[b]y=x^2 пересекается с прямой y=f(x) + 2 [/b] в точках А и В
[b]АВ=sqrt(26)[/b]
[b]y=x^2 пересекается с прямой y=f(x)+1[/b] в точках C и D
СD=3sqrt(2)
[b]y=x^2 пересекается с прямой y=f(x)[/b] в точках M и N
[b]Найти MN[/b]
Получили [b]три[/b] одинаковых предложения,
которые помогут составить равенства.
[b]Подробно считаем только для точек А и В.
Пусть A (x_(A);y_(A)); B(x_(B);y_(B))[/b].
По формуле расстояния между двумя точками:
[b]AB^2=(y_(B)-y_(A))^2+(x_(B)-x_(A))^2[/b]
так как
y_(B)-y_(A)^2=(x^2_(B)-x^2_(A))^2=(x_(B)+x_(A))^2*(x_(B)-x_(A))^2, то
AB^2=(x_(B)+x_(A))^2*(x_(B)-x_(A))^2+ (x_(B)-x_(A))^2
[b]26=(x_(B)+x_(A))^2*(x_(B)-x_(A))^2+ (x_(B)-x_(A))^2 (#) [/b]
Так как
[b]y=x^2 пересекается с прямой y=f(x) + 2 [/b] в точках А и В,
значит координаты точек А и В можно найти из уравнения:
x^2=kx+m+2
x^2-kx-(m+2)=0
[b]По теореме Виета[/b]
x_(B)+x_(A)=k
x_(B)*x_(A)=-(m+2)
⇒
x^2_(B)+2x_(B)*x_(A)+x^2_(A)=k^2
x^2_(B)+2*(-m-2)+x^2_(A)=k^2
[b]x^2_(B)+x^2_(A)=k^2+2(m+2)[/b]
Подставляем в (#)
26=(k^2+1)*(k^2+2*(m+2)+2*(m+2))
[b]26=(k^2+1)*(k^2+4*(m+2))[/b] ( уравнение (1))
[b]Аналогично[/b]
для пары точек С и D:
из уравнения
x^2=kx+m+1
x^2-kx-(m+1)=0
x_(D)+х_(C)=k
x_(D)*x_(C)=-(m+1)
CD^2=(x_(D)+x_(C))^2*(x_(D)-x_(C))^2+(x_(D)-x_(C))^2
18=(x_(D)+x_(C))^2*(x_(D)-x_(C))^2+(x_(D)-x_(C))^2
18=(k^2+1)*(k^2+2*(m+1)+2*(m+1))
[b]18=(k^2+1)(k^2+4*(m+1))[/b] ( уравнение (2))
[b]и для пары точек M и N[/b]
из уравнения
x^2=kx+m
x^2-kx-m=0
x_(N)+х_(M)=k
x_(N)*x_(M)=-m
MN^2=(x_(N)+x_(M))^2*(x_(N)-x_(M))^2+(x_(N)-x_(M))^2
[b]MN^2=(k^2+1)(k^2+4m)[/b]
из [b] уравнений (1) и (2)[/b]
находим
k^2 и m
и подставляем в выражение для MN
Вычитаем
(1) - (2)
26 - 18 = 4k^2+4 ⇒ k^2=1
подставляем в уравнение (1):
26=(1+1)(1+4*(m+2)) ⇒ 13=1+4*(m+2) ⇒ m+2=3 ⇒ m=1
MN^2=(k^2+1)(k^2+4m)
MN^2=(1+1)*(1+4)
MN^2=10
[b]MN=sqrt(10)[/b]
О т в е т. sqrt(10)