Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 33847 Дана линейная функция f(x). Известно,...

Условие

Дана линейная функция f(x). Известно, что расстояние между точками пересечения графиков y=x^2-2 и у = f(x) равно sqrt(26), а расстояние между точками пересечения графиков y=x^2 и у = f(x)+1 равно 3sqrt(2). Найдите расстояние между точками пересечения графиков функций у = x^2 и у = f(x).

математика 10-11 класс 3279

Решение

Все решения

[b]Решение задачи предполагает нахождение
какой-то закономерности, которая упростит вычисления.[/b]

Постараемся ее найти:

По условию y=x^2 - 2 пересекается с прямой y= f(x)
Пусть f(x)=kx+m
Осуществим параллельный перенос на 2 единицы вверх
Получим

[b]y=x^2 пересекается с прямой y=f(x) + 2 [/b] в точках А и В
[b]АВ=sqrt(26)[/b]

[b]y=x^2 пересекается с прямой y=f(x)+1[/b] в точках C и D
СD=3sqrt(2)

[b]y=x^2 пересекается с прямой y=f(x)[/b] в точках M и N
[b]Найти MN[/b]

Получили [b]три[/b] одинаковых предложения,
которые помогут составить равенства.

[b]Подробно считаем только для точек А и В.
Пусть A (x_(A);y_(A)); B(x_(B);y_(B))[/b].

По формуле расстояния между двумя точками:

[b]AB^2=(y_(B)-y_(A))^2+(x_(B)-x_(A))^2[/b]
так как
y_(B)-y_(A)^2=(x^2_(B)-x^2_(A))^2=(x_(B)+x_(A))^2*(x_(B)-x_(A))^2, то

AB^2=(x_(B)+x_(A))^2*(x_(B)-x_(A))^2+ (x_(B)-x_(A))^2

[b]26=(x_(B)+x_(A))^2*(x_(B)-x_(A))^2+ (x_(B)-x_(A))^2 (#) [/b]


Так как
[b]y=x^2 пересекается с прямой y=f(x) + 2 [/b] в точках А и В,
значит координаты точек А и В можно найти из уравнения:
x^2=kx+m+2
x^2-kx-(m+2)=0

[b]По теореме Виета[/b]
x_(B)+x_(A)=k
x_(B)*x_(A)=-(m+2)

x^2_(B)+2x_(B)*x_(A)+x^2_(A)=k^2

x^2_(B)+2*(-m-2)+x^2_(A)=k^2
[b]x^2_(B)+x^2_(A)=k^2+2(m+2)[/b]


Подставляем в (#)

26=(k^2+1)*(k^2+2*(m+2)+2*(m+2))
[b]26=(k^2+1)*(k^2+4*(m+2))[/b] ( уравнение (1))

[b]Аналогично[/b]

для пары точек С и D:

из уравнения
x^2=kx+m+1
x^2-kx-(m+1)=0
x_(D)+х_(C)=k
x_(D)*x_(C)=-(m+1)

CD^2=(x_(D)+x_(C))^2*(x_(D)-x_(C))^2+(x_(D)-x_(C))^2

18=(x_(D)+x_(C))^2*(x_(D)-x_(C))^2+(x_(D)-x_(C))^2

18=(k^2+1)*(k^2+2*(m+1)+2*(m+1))

[b]18=(k^2+1)(k^2+4*(m+1))[/b] ( уравнение (2))

[b]и для пары точек M и N[/b]

из уравнения
x^2=kx+m
x^2-kx-m=0
x_(N)+х_(M)=k
x_(N)*x_(M)=-m

MN^2=(x_(N)+x_(M))^2*(x_(N)-x_(M))^2+(x_(N)-x_(M))^2

[b]MN^2=(k^2+1)(k^2+4m)[/b]

из [b] уравнений (1) и (2)[/b]

находим
k^2 и m
и подставляем в выражение для MN

Вычитаем
(1) - (2)

26 - 18 = 4k^2+4 ⇒ k^2=1

подставляем в уравнение (1):

26=(1+1)(1+4*(m+2)) ⇒ 13=1+4*(m+2) ⇒ m+2=3 ⇒ m=1

MN^2=(k^2+1)(k^2+4m)
MN^2=(1+1)*(1+4)
MN^2=10
[b]MN=sqrt(10)[/b]

О т в е т. sqrt(10)

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК