Задача 15107 log2x + 5sqrt(log2x) + 15 ......

u17659119221

18 апреля 2017 г.

log₂x + 5√log₂x + 15 ...

SOVA

18 апреля 2017 г.

★

ОДЗ:
{x > 0;
{log₂x > 0⇒x > 1
{log₂x–5√log₂x+6≠0⇒
log₂x≠2;log₂x≠3⇒x≠4;x≠8
ОДЗ:(1;4)U(4;8)U(8;+∞)

Замена переменной:
√log₂x=t
log₂x=t²
Неравенство принимает вид:
t²+5t+15 ≤ (92–46t)/(t²–5t+6);

t²+5t+15 ≤ 46 (2–t)/(t–2)(t–3);

t²+5t+15 ≤ (–46 /(t–3));

t²+5t+15 + (46 /(t–3))≤ 0;

(t³+5t²+15t–3t²–15t–45+46)/(t–3)) ≤ 0;

(t³+2t²+1)/(t–3) ≤ 0;

y=t³+2t²+1 возрастает на ОДЗ, так как y`=3t²+4t > 0 при t > 1
cм. график функции y=t³+2t²+1 на рисунке.

Значит решением неравенства является
t–3 < 0
t < 3
Возвращаемся к переменной х:
√log₂x < 3.

0 ≤ log₂x < 9;
1 ≤ x < 2⁹=512
C учетом ОДЗ получаем ответ
(1;4)U(4;8)U(8;512)