Задача 36931 45/(log^2(2)x - 2log(2)x)^2 -...

aaaaaannnyyyyy

2019-05-12 08:25:51

45/(log^2(2)x - 2log(2)x)^2 - 18/(log^2(2)x - 2log(2)x) +1 < 0

sova

2019-05-12 09:02:10

★

ОДЗ:
{x>0
{log^2_(2)x-2log_(2)x ≠ 0 ⇒ log_(2)x*(log_(2)x-2) ≠ 0 ⇒

log_(2)x ≠ 0 и log_(2)x ≠ 2

x ≠ 1 и х ≠ 4

х ∈ (0;1) U(1;4) U(4;+ ∞ )

Замена переменной

log^2_(2)x-2log_(2)x=t; t ≠ 0 и t ≠ 2

45/t^2 - 18/t + 1 < 0

(t^2-18t+45)/t^2<0

D=18^2-4*45=324-180=144

t_(1)=3; t_(2)=15

__+____(0)__+__ (3) __-___ (15) __+___

3 < t < 15

[b] 3 < log^2_(2)x -2log_(2)x < 15[/b]

Система:

{log^2_(2)x -2log_(2)x >3
{log^2_(2)x -2log_(2)x < 15

Замена

log_(2)x=u

{u^2-2u-3>0 ⇒ D=16; u_(1)=-1; u_(2)=3;
{u^2-2u-15 <0 ⇒ D=4+60=64; u_(3)=-3; u_(4)=5

{u < -1 или u > 3
{-3 < u < 5

Решение системы:
-3 < u < -1 или 3 < u < 5


Обратный переход

-3 < log_(2)x < -1 или 3 < log_(2)x < 5


Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому

1/8 < x < 1/2 или 8 < x < 32

С учетом ОДЗ
О т в е т. [b](1/8; 1/2) U (8;32)[/b]