Задача 27378 Решите неравенство...
Условие
(sqrt(log2(x^2-3))-sqrt(log2(x+9)))/log2(x^2-6x+9) больше или равно 0
Решение
{x^2-3 > 0 ⇒ (-∞;-sqrt(3))U(sqrt(3);+∞)
{x+9 > 0 ⇒ x > -9
{x^2-6x+9 > 0 ⇒ x ≠ 3
{log_(2)(x^2-3) больше или равно 0 ⇒ x^2-3 больше или равно 1 ⇒ (-∞;-2)U(2;+∞)
{log_(2)(x+9) больше или равно 0 ⇒ x+9 больше или равно 1 ⇒ x больше или равно -8
ОДЗ: [-8; -sqrt(3))U (sqrt(3);3)U(3;+ бесконечность )
Умножим числитель и знаменатель на
sqrt(log_(2)(x^2-3))+sqrt(log_(2)(x+9))
Тогда в числителе разность квадратов
log_(2)(x^2-3)-log_(2)(x+9)
запишем как логарифм частного
(log_(2) (x^2-3)/(x+9))/log_(2)(x^2-6x+9) больше или равно 0
(sqrt(log_(2)(x^2-3))+sqrt(log_(2)(x+9)) > 0 и на знак дроби не влияет)
Применяем метод рационализации
((x^2-3)/(x+9) - 1)/(x^2-6x+9-1) больше или равно 0
(x^2-x-12)/((x+9)*(x-2)(x-4)) больше или равно 0
(x+3)(x-4)/((x+9)*(x-2)(x-4)) больше или равно 0
__-_ (-9) ___+__ [-3] __-__ (2) _+__ (4) _+_
(-9;-3] U(2;4)
c учетом ОДЗ получим ответ.
[-8;-3]U(2;3)U(3:4)U(4;+ бесконечность )