Задача 39706 Даны комплексные числа z1 = -3/2 -...

piest

20 сентября 2019 г. в 22:43

Даны комплексные числа z1 = –3/2 – √3/2 i, z2 = –12i

sova

21 сентября 2019 г. в 00:26

a)
Комплексное число z=x+iy изображают вектором с координатами (x;y)
Поэтому
z₁=([m]-\frac{3}{2};- \frac {\sqrt{3}}{2}[/m]) см. рис.1

z₂=(0;–12) см. рис.2

z₂=12i

z₂=(0;12) см. рис. 3

–z₂=12i

–z₂=(0;12) см. рис. 3


б)
Применяем правило сложения векторов ( правило треугольника или правило параллелограмма см. последний рисунок). Геометрически см. рис. 4

Аналитически это так:

z₁+z₂= [m](-\frac{3}{2}- \frac {\sqrt{3}}{2}i)+ (-12i)=[/m]

= [m]-\frac{3}{2}- (\frac {\sqrt{3}}{2}+12)i=[/m]

= [m]-\frac{3}{2}- \frac {\sqrt{3}+24}{2}i[/m]

Применяем правило вычитания векторов ( правило треугольника или правило параллелограмма см. последний рисунок)
Геометрически см. рис. 5

Аналитически это так:
z₁– z₂= [m](-\frac{3}{2}- \frac {\sqrt{3}}{2}i)- (-12i)=[/m]

= [m]-\frac{3}{2}- (\frac {\sqrt{3}}{2}-12)i=[/m]

= [m]\frac{3}{2}- \frac {\sqrt{3}-24}{2}i[/m]


z₁·z₂= [m](-\frac{3}{2}- \frac {\sqrt{3}}{2}i)\cdot (-12i)=[/m]

[m]=12\cdot \frac{3}{2}i+12\cdot \frac {\sqrt{3}}{2}i^{2}=-6\sqrt{3}+18i[/m]


[m]\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{-\frac{3}{2}- \frac {\sqrt{3}}{2}i}{-12i}=[/m]

умножаем и числитель и знаменатель на i

[m]=\frac{-\frac{3}{2}i- \frac {\sqrt{3}}{2}i^2}{-12i^2}=[/m]

[m]=\frac{-\frac{3}{2}i+ \frac {\sqrt{3}}{2}}{12}=[/m]

[m]=\frac {\sqrt{3}}{24}-\frac{3}{24}i=[/m]


[m]=\frac {\sqrt{3}}{24}-\frac{1}{8}i[/m]

в)
z=x+iy

|z|=√x²+y²=
argz= φ
z=|z|·[m](cos\varphi +isin\varphi)[/m] – тригонометрическая форма комплексного числа z

z₁=[m](-\frac{3}{2}- \frac {\sqrt{3}}{2}i)[/m]


Запишем z₁ в тригонометрической форме


[m]|z_{1}|=\sqrt{(-\frac{3}{2})^{2}+(-\frac {\sqrt{3}}{2})^{2}}=[/m]

=[m]\sqrt{\frac{9}{4}+\frac {3}{4}}=\sqrt{3}[/m]



argz₁= φ

sin φ =[m]\frac{y}{z_{1}}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{2}[/m]

cos φ =[m]\frac{x}{z_{1}}=\frac{-\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]

φ =[m]-\frac{5\pi}{6}[/m]

z₁=[m]\sqrt{3}\cdot (cos(\frac{-5\pi}{6})+i\cdot sin(\frac{-5\pi}{6}))[/m] – тригонометрическая форма

Так как

[m]e^{i\varphi}=cos\varphi +isin\varphi[/m]

z₁=√3·[m]e^{-\frac{5\pi}{6}\varphi}[/m]

z₂=–12I
|z₂|=12

sin φ =[m]\frac{y}{z_{2}}=\frac{-12}{12}=-1[/m]

cos φ =[m]\frac{x}{z_{1}}=\frac{0}{12}=0[/m]

φ =[m]-\frac{\pi}{2}[/m]


z₂=12·([m]cos(\frac{-\pi}{2})+i\cdot sin(\frac{-\pi}{2}))[/m] –
тригонометрическая форма


[m]e^{i\varphi}=cos\varphi +isin\varphi[/m]

Поэтому

z₂=[m]e^{-\frac{\pi}{2}i}[/m]