Задача 48274 Провести полное исследование функции...

vk558645882

2020-04-24 19:17:16

Провести полное исследование функции y=(2x-1)/(x^2). Построить график.

sova

2020-04-24 22:45:21

★

1) D(y)=(–∞;0)U(0;+ ∞)

точка x=0 не входит в область определения
Находим пределы слева и справа:
f(-0)=lim_(x→-0)f(x)=- ∞
f(+0)=lim_(x→+0)f(x)=- ∞

Они бесконечные, значит

х=0 - [b]точка разрыва второго рода[/b]

х=0 - [i]вертикальная асимптота.[/i]

2) Функция не является ни четной, ни нечетной.
у(-х)=(2*(-х)-1)/(-x)^2=(-2х-1)/x^2

y(-x)≠y(x)
y(-x)≠-y(x)


3)lim_(x→ +бесконечность))f(x)=0
lim_(x→-бесконечность)f(x)=0

[i]Горизонтальная асимптота[/i] y=0

4)
Наклонных асимптот нет

k=lim_(x→ ∞ )(2x-1)/x^3=0


5) f(x)=0
2х-1=0
x=1/2 - точка пересечения с осью Ох

f(0)=не существует.
Точек пересечения с осью Оу нет.

[b]Исследование функции с помощью производной[/b]

6)
y`=(2*x^2-2x*(2x-1))/x^4

y`=(2x^2-4x^2+2x)/x^3

y`=(1-х)/x^3


y`=0

x=1 – точка [b]максимума[/b], производная меняет знак с + на -

Знак производной:
_____–__ (0 ) __+__ (1) __- ___

y`>0 на (0; 1)
функция [b]возрастает[/b] на (0; 1)

y`<0 на (- ∞ ;0) и на (1;+ ∞ )
функция [b]убывает[/b] на (- ∞ ;0) и на (1;+ ∞ )

у(1)=(2-1)/1=1


7)
y``=(-1*x^3-3x^2*(1-x))/x^6

y``=(2x-3)/x^4

x=3/2- точка перегиба