Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 12716 ...

Условие

В клетчатом квадрате 104××104 отмечены центры всех единичных квадратиков (всего 10816 точек). Какое наименьшее число прямых, не параллельных сторонам исходного квадрата, нужно провести, чтобы вычеркнуть все отмеченные точки?

математика 10-11 класс 1380

Решение

Проведем все прямые, параллельные одной из диагоналей квадрата и содержащие более одной из отмеченных точек — таких прямых (зеленые прямые на рисунке).
в квадрате со стороной 4 - 5 прямых;
в квадрате со стороной 6 - 9 прямых;
в квадрате со стороной 8 - 13 прямых;
...
в квадрате со стороной 104 - 203 прямых.
Невычеркнутыми остаются две угловые точки. Их можно вычеркнуть, проведя еще одну прямую — другую диагональ (красного цвета).
Тогда
в квадрате со стороной 4 - 6 прямых;
в квадрате со стороной 6 - 10 прямых;
в квадрате со стороной 8 - 14 прямых;
...
в квадрате со стороной 104 - 206 прямых.
Вообще, в квадрате со стороной n
2*(n-2)+2 прямых.

Докажем, что нельзя обойтись меньшим числом прямых.
Рассмотрим центры единичных квадратиков, расположенных по периметру большого квадрата. Прямая, не параллельная стороне квадрата, может вычеркнуть не более двух таких точек.

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК