Задача 32689 Решите систему уравнений...

ladykaramel

13 января 2019 г. в 15:11

Решите систему уравнений
5х²–10у²=5
3х²–2ху+5у²=35

vk397114329

13 января 2019 г. в 21:07

★

{ 5x²–10y²=5 ; 3x²–2xy+5y²=35.
Решение: Данная система является однородной системой,так как левые части уравнений есть однородные многочлены второй степени. Подстановкой убеждаемся,что x=0 и y=0 решением не являются.Приведем второе уравнение к виду, когда правая часть уравнения будет равна нулю. Для этого умножим первое уравнение на 35 и вычтем из него второе уравнение предворительно сократив обе части первого уравнения на 5, получим систему {x²–2y²=1; 32x²+2xy–75y²=0 Разделим обе части на y².получим систему:{x²–2y²=1. 32·(x/y)²+2xy–75y²=0 Решаем второе уравнение относительно (x/y):
(x/y)1.2=(–1+–49)/32 получаем x/y=3/2 или x/y=–25/16. Получили две системы: {x/y=3/2; x²–2y²=1 и {x/y=–25/16; x²–2y²=1.
Решаем первую систему:{ y=2x/3. x²–2y²=1; x²–2·4x²/9–1=0. x²=9. Отсюда x1.2=+–3 .Соответственно y1.2=+–2.
Решаем вторую систему: {y=–16x/25;x²–2y²=1. x²–2·(256x²)/625=1. Отсюда x3,4=+–25/sgrt(113) ; Соответственно y3.4=+–16/sgrt(113) Получаем следующее решение: (25/sgrt(113);16/sgrt(113); (–25/sgrt(113;–16/sgrt(113).
Ответ(3;2);(–3;–2);(25/sgrt(113);16/sgrt(113));(–25/sgrt(113);–16/sgrt(113)).

sova

13 января 2019 г. в 21:41

Умножим первое уравнение на 7
35x²–70y²=35
приравняем правые части
3x²–2xy+5y²=35x²–70y²
получили однородное уравнение второй степени

32x²+2xy –75y²=0
x=0;y=0 не является решением системы

Делим на у²:
t=x/y

32t² +2t–75=0

D=4+4·32·75=9604=98²

t=(–2–98)/64= или t=(–2+98)/64
t=–25/16 или t=3/2

x/y=–25/16
x=–(25/16)y
и
подставляем в первое уравнение
5·((–25/16)y)²–10y²=5
y²=256/113

y₁=16/√113; y₂=–16/√113
x₁=–25/√113;x₂=25/√113

x/y=3/2
x=3y/2
и подставляем в первое уравнение

(9/4)y²–2y²=1
y²=4
y₃=2;y₄=–2
x₄=3;x₄=–3

О т в е т. (–25/√113; 16/√113); (25/√113;–16/√113;
(3;2);(–3;–2)