Задача 42771 ...

vk204612882

17 декабря 2019 г. в 11:07

1) lim (sin 3x / (√2x+1 – 1))
x–>0

2) lim ((x³ + 4x² + 4x) / (x² – x – 6))
x–>–2

3) lim ((x³ + 3x – 1) / (x³ + x² + 7x))
x–>∞

4) lim (sin² 2x / x²)
x–>0

9) lim (((x + 5) / x)^2x)
x–>∞

sova

17 декабря 2019 г. в 12:54

★

1.
Неопределенность (0/0)
Умножаем и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное тому, что в знаменателе, т.е на такое же но с +:
√2x+1+1
[m]=\lim_{x \to 0}\frac{sin3x(\sqrt{2x+1}+1)}{(\sqrt{2x+1}-1)(\sqrt{2x+1}+1)}=\lim_{x \to 0}\frac{sin3x(\sqrt{2x+1}+1)}{(\sqrt{2x+1})^2-1^2}=[/m]

[m]=\lim_{x \to 0}\frac{sin3x(\sqrt{2x+1}+1)}{2x+1-1}=[/m]


[m]=\lim_{x \to 0}\frac{sin3x(\sqrt{2x+1}+1)}{2x}\cdot \lim_{x \to 0}(\sqrt{2x+1}+1) =[/m]

[m]=\frac{3}{2}\cdot (\sqrt{2\cdot 0+1}+1) =3[/m]



2.
Неопределенность (0/0)
Раскладываем на множители и числитель и знаменатель:

[m]=\lim_{x \to -2}\frac{x\cdot (x+2)^2}{(x+2)(x-3)}=[/m]

сокращаем на (х+2)

[m]=\lim_{x \to -2}\frac{x\cdot(x+2)}{x-3}=\frac{-2\cdot\ 0}{-2-3}=\frac{0}{-5}=0[/m]


3.
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим числитель и знаменатель на x³

[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{x^3+3x-1}{x^3}}{\frac{x^3+x^2+7}{x^3}}=[/m]

Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на x³ и
каждое слагаемое знаменателя делим на x³:

[m]\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{x^3}{x^3}+\frac{3x}{x^3}-\frac{1}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3}+\frac{x^2}{x^3}+\frac{7}{x^3}}=\frac{1+0-0}{1+0+0}=1[/m]



4.

[m]\lim_{x \to 0}\frac{sin^23x}{x^2}=(\frac{0}{0})=\lim_{x \to 0}\frac{3\cdot 3\cdot sin3x\cdot sin3x}{3x\cdot 3x}=[/m]

[m]=9\lim_{x \to 0}\frac{sin3x}{3x}\cdot \lim_{x \to 0}\frac{sin3x}{3x}=9[/m]


9.

[m]\lim_{x \to \infty }(\frac{x+5}{x})^{2x}=\lim_{x \to \infty }((1+\frac{5}{x})^{\frac{x}{5}})^{\frac{5}{x}\cdot 2x}=e^{10}[/m]