Задача 37612 ...
Условие
Решение
{3–|x| > 0 ⇒ |x| < 3
{|x–2|>0 ⇒ x ≠ 2
{|x–2| ≠ 1 ⇒ x–2 ≠ –1 и х–2 ≠ 1 ⇒ х ≠ 1 и х ≠ 3
ОДЗ : x ∈ (–3;1) U(1;2)U(2;3)
log|x–2|(3–|x|) ≤ log|x–2|1
Если
|x–2| >1 ⇒ x–2 < –1 или x–2 >1⇒ x < 1 или x > 3
Логарифмическая функция с основанием больше 1 возрастает.
Большему значению функции соответствует большее значение аргумента
3–|x| ≤ 1 ⇒ |x| ≥ 2 ⇒ x ≤ –2 или x ≥ 2
В этом случае решением является x ≤ –2
C учетом ОДЗ: (–3;–2]
Если
0 <|x–2| <1⇒ –1 < x–2 < 1, x ≠ 0 ⇒ 1 < x < 3; x≠ 0
Логарифмическая функция с основанием меньше 1 убывает.
Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
3–|x| ≥ 1 ⇒ |x| ≤ 2 ⇒ –2 ≤ х≤ 2
В этом случае решением является (1;2]
C учетом ОДЗ: (1;2)
О т в е т. – объединяем ответы двух случаев (–3;–2] U (1;2)
Второй способ
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(|x–2|–1)·(3–|x| –1) ≤ 0
(|x–2|–1)·(2–|x|) ≤ 0
Раскрываем модули
Подмодульные выражения обращаются в 0 в точках x=0 и х=2
Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка
(–∞;–0) ; (0;2) и (2;+∞)
C учетом ОДЗ на
(–3;0]
|x–2|=–x+2
|x|=–x
(–x+2–1)·(2+x) ≤ 0
(x–1)(x+2) ≥ 0
x ≤ –2 или x ≥ 1
С учетом рассматриваемого интервала (–3;0] о т в е т. (–3;–2]
на (0;2]
C учетом ОДЗ на (0;1)U(1;2)
|x–2|=–x+2
|x|=x
(–x+2–1)·(2–x) ≤ 0
(х–1)(х–2) ≤ 0
1 ≤x ≤ 2
С учетом рассматриваемого интервала о т в е т. (1;2)
на (2;3)
|x–2|=x–2
|x|=x
(x–2–1)(2–x) ≤ 0
(x–3)(x–2) ≥0
x ≤ 2 или x ≥ 3
С учетом рассматриваемого интервала неравенство не имеет решений
О т в е т. (–3;–2] U (1;2)
Все решения
