Задача 43522 Найдите наибольшее значение функции y=...

albina

2020-01-20 10:57:32

Найдите наибольшее значение функции y= x/2 + sin^2x на отрезке [-Pi/2; Pi/2]

sova

2020-01-20 11:01:22

★

y`=(1/2)+2sinx*cosx


y`=(1/2)+sin2x


y`=0


(1/2)+sin2x=0

sin2x=-1/2

2x=(-π/6)+2πk, k ∈ Z или 2x=(-5π/6)+2πn, n ∈ Z

x=(-π/12)+πk, k ∈ Z или x=(-5π/12)+πn, n ∈ Z

(-π/12) ∈ [-π/2; π/2]

(-5π/12) ∈[-π/2; π/2]


Знак производной:

[-π/2] _+_ (-5π/12) _-__ (-π/12) ___+____ [π/2]

x=-5π/12 - точка максимума, так как при переходе через точку производная меняет знак с + на -

Можно посчитать это значение, но оно отрицательное.

Поскольку

y` > 0 на [-π/12;π/2]

то функция возрастает на [-π/12;π/2] потому наибольшее значение принимает в точке x=π/2

y(π/2)=[b](π/4)+1[/b]