B_(1)D^2=BB^2_(1)+BD^2=BB^2_(1)+AD^2+AB^2
B_(1)D=2R_(сферы)=2
2=b^2+a^2+a^2 ⇒ b=sqrt(2-2a^2)
Тогда
S_(полн)=4a*b+2*a^2=4a*sqrt(2-2a^2)+2a^2
S_(полн) (а)=4a*sqrt(2-2a^2)+2a^2 - [i]зависит[/i] от а
Исследуем функцию на экстремум.
Пусть a=x
0 < x < 2 ( т. к сторона квадрата не превышает диаметра шара)
S(x)=4x*sqrt(2-2x^2)+2x^2
Находим производную:
S`(x)=4*sqrt(2-2x^2)+4x*(-4x)/2sqrt(2-2x^2)+4x
S`(x)=sqrt(2-2x^2)+x*(-2x)/sqrt(2-2x^2)+x
S`(x)=0
x*sqrt(2-2x^2)=4x^2-2
Возводим в квадрат:
x^2*(2-2x^2)=16x^4-16x^2+4
18x^4-18x^2+4=0
9x^4-9x^2+2=0
D=81-4*9*2=9
x_(1)=(9-3)/18=1/2; x_(2)=(9+3)/18=2/3
S(1/2)=4*(1/2)*sqrt(2-2*(1/2)^2)+2*(1/2)^2=sqrt(6)+(1/2)
S(2/3)=4*(2/3)*sqrt(2-2*(2/3)^2)+2*(2/3)^2=8*(sqrt(10)+1)/9
Cравним:
S(1/2) < S (2/3)
x=a=2/3
b^2=2-2a^2=2-2*(4/9)=10/9
b=sqrt(10)/3
О т в е т. a=2/3; b=sqrt(10)/3