Задача 37538 ...

vk276469798

2019-05-24 12:06:22

Решить неравенство (log2x-5)/(1-2log2x) ≥ 2log2x

sova

2019-05-24 12:53:17

ОДЗ:
{x>0
{1-2log_(2)x ≠ 0 ⇒ log_(2)x ≠ 1/2; x ≠ sqrt(2)

Замена переменной:
log_(2)x=t
Решаем обычное дробно- рациональное неравенство.

(t-5)/(1-2t) ≥ 2t

(t-5)/(1-2t) -2t ≥ 0

(t-5-2t+4t^2)/(1-2t) ≥ 0

(4t^2-t-5)/(1-2t) ≥ 0

(4t^2-t-5)/(2t-1)≤ 0

Решаем методом интервалов.
Находим нули числителя:
D=1-4*4*(-5)=81
t_(1)=-1 t_(2)=5/4
Отмечаем их на числовой прямой затушеванным кружком.
Находим нули числителя:
2t-1=0
t=1/2
Отмечаем на числовой прямой незаполненным, пустым кружком.
Расставляем знаки:
Cправа от наибольшей точки +, далее знаки чередуем

_-__ [-1] __+_ (1/2) ___-___ [5/4] __+__

t ≤-1 или (1/2) < t ≤ 5/4

Обратная замена:
log_(2)x ≤ -1 или (1/2) < log_(2)x ≤ 5/4

С учетом ОДЗ:
0 < x ≤1/2 или sqrt(2) < x ≤ 2^(5/4)=2*2^(1/4)

О т в е т. (0; 1/2] U (sqrt(2); 2*2^(1/4)]