Задача 37538 ...

vk276469798

24 мая 2019 г. в 12:06

Решить неравенство (log₂x–5)/(1–2log₂x) ≥ 2log₂x

sova

24 мая 2019 г. в 12:53

ОДЗ:
{x>0
{1–2log₂x ≠ 0 ⇒ log₂x ≠ 1/2; x ≠ √2

Замена переменной:
log₂x=t
Решаем обычное дробно– рациональное неравенство.

(t–5)/(1–2t) ≥ 2t

(t–5)/(1–2t) –2t ≥ 0

(t–5–2t+4t²)/(1–2t) ≥ 0

(4t²–t–5)/(1–2t) ≥ 0

(4t²–t–5)/(2t–1)≤ 0

Решаем методом интервалов.
Находим нули числителя:
D=1–4·4·(–5)=81
t₁=–1 t₂=5/4
Отмечаем их на числовой прямой затушеванным кружком.
Находим нули числителя:
2t–1=0
t=1/2
Отмечаем на числовой прямой незаполненным, пустым кружком.
Расставляем знаки:
Cправа от наибольшей точки +, далее знаки чередуем

_–__ [–1] __+_ (1/2) ___–___ [5/4] __+__

t ≤–1 или (1/2) < t ≤ 5/4

Обратная замена:
log₂x ≤ –1 или (1/2) < log₂x ≤ 5/4

С учетом ОДЗ:
0 < x ≤1/2 или √2 < x ≤ 2^5/4=2·2^1/4

О т в е т. (0; 1/2] U (√2; 2·2^1/4]